問題驅動的高中數學教學方法研究

唐睿

【摘要】 怎樣上好一堂數學課？廣州大學曹廣福教授曾提出問題驅動一說，問題是數學的核心，是推動數學發展的動力。通過數學學習學會用數學的眼光觀察問題、用數學的頭腦思考問題以及用數學的方法解決問題，這才是數學教育之本質。南京師大附中陶維林教授也曾提出問題啟發一說，問題是數學的心臟，在教學中教師最主要的任務就是提出問題，以及引導學生提出問題。教師最重要的也是最困難的，就是提好——問題，提——好問題。孔子的啟發式仍然是最好的教學方法，沒有問題就沒有啟發。本文將從曹教授問題驅動這一概念背景下，來探討高中數學即包括知識教學也包括解題教學的教學方法。問題有兩類，第一類是關于知識教學的，即“是什么”和“為什么”的問題；第二類是關于怎樣解題的，即“怎么做”和“怎么想”的問題。知識教學和怎樣解題的教學，這是數學課堂的兩大基本任務。數學課堂就是通過這兩大基本途徑來幫助學生學會數學地表達以及數學地思維的。希望通過對數學教材和高考試題的深入研究，而不至于使得這種探討變得空洞。但考慮到篇幅，將其放到本文的附錄部分中。

【關鍵詞】 問題驅動 高中數學 教學方法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）09-114-02

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一、談數學知識（即核心概念和原理）的教學方法

我們把數學知識分為概念性知識和原理性知識，除了概念性知識，其余的諸如數學的公理、定理、公式、性質、法則、步驟、方法等都統歸為原理性知識。

原則（一）固本浚源：既要知道“是什么？”更要知道“為什么？”

曹廣福教授認為，數學課堂的靈魂是思想，缺少思想的教育不是教育，而是知識與技能培訓。知識本身不是終極目標，知識只是一種思想載體，是思想外化的表現。在他看來，課堂教學不能拘泥于教材，任何一門理論的產生都離不開思辨，要增強課堂的彈性。

首先，數學知識的教學需要多質疑“是什么”的問題，這叫求知。對數學知識的學習應該抓住其本質，或叫“固本”。梁漱溟先生在《談學問》一文中開篇就講“學問貴能得要”也是這個意思。如何認清事物的本質？我認為，關鍵在于領悟變化和不變的道理，尤其要知道變化中保持不變的東西才叫本質。例如高中數學橢圓定義的教學，橢圓上的動點對應的兩條焦半徑是變化的，但變化中有不變性或不變量，這個不變量就是兩條焦半徑的和，這個不變的東西才是橢圓的本質。此類問題還有很多，詳見本文附錄一數學教材研究部分。數學中的一切知識大概都源于對變化中那個不變東西的追求。這不僅是一個數學問題，更是一個哲學問題，當然數學跟哲學本身就不分家的。參變化之機悟不變之理，我把變化和不變稱之為數學之一種精神。其一、不變是數學之追求，是信仰是永恒是終極是數學知識之本質，如數學中的不變量、不變性、不動點等；其二、變化是數學之智慧，是手段是方法是技巧是數學解題之規律，如結構破壞、化曲為直、轉化化歸等都是在講變化。

其次，數學知識的教學需要多質疑“為什么”的問題，這叫求真。對數學知識的學習應該追問其源起，或叫“浚源”。例如，高中數學數系的擴充與復數的引入的教學，虛數是什么？為什么要有虛數？這是不能回避的問題，人教版新課程標準實驗教科書只簡單交代是方程的根，但為什么要使這樣的方程有根呢？這種追問是有價值的！如果能進一步回顧數的發展歷史和人類對數的認識歷程，包括無理數的產生跟第一次數學危機的關系，那么學生對復數的概念的認識的深度和廣度自然會達到一個更高的層次。更重要的是，學生對數學學習的興趣被激發了！此類問題還有很多，詳見本文附錄一數學教材研究部分。當然，這需要我們對數學史有一定的了解，數學史包括數學的人物史、符號史、思想史、危機史等等。

原則（二）異途同歸，準確理解數學的三種語言

數學語言又可歸結為文字語言、符號語言、圖形語言三類。數學語言作為數學理論的基本構成成分，具有“高度的抽象性、良好的直觀性、嚴密的邏輯性”，應用十分廣泛。簡單地講，數學語言科學、簡潔、通用。掌握好數學語言是學習好數學的關鍵！伽利略說，世界是一本以數學語言寫成的書。卡爾·薩根說，宇宙中的技術文明無論差異多大，都有一種共同的語言——數學語言。我們在教學任何一種數學知識，無論是概念性知識或者原理性知識，都應該充分全面展示該種知識的不同語言也就是三種語言表達。這樣的例子是不勝枚舉的，例如集合的教學，縱觀全部高中數學知識，集合部分雖然簡單，但是卻十分關鍵。可以這么說，不懂集合語言，就不懂數學語言。說到底，還是數學的那三種語言，尤其是對符號語言即列舉法和描述法的認識，看不懂其中的各種符號語言，就無法準確理解一個集合中元素的構成也就是該集合的含義。

原則（三）先學后教

對于學生來講，提前預習、正確聽課、及時復習是中學的三大學習方法，根本在于課堂效率，關鍵在于提前預習。對于教師來說，可以改進的是提前備好一周的課，并改變自己習以為常的陳舊的教學觀念和行為。例如，作業布置的目的應該改變，應該變鞏固作業為主為預習作業為主，課堂教學的目的也應該改變，應該變被動接受新知識為主為消化吸收新知識為主。這也是翻轉課堂的出發點和歸宿吧！

原則（四）評價手段

如何評價是一個復雜的問題，但又很重要。對于數學知識的教學怎樣才算學會呢？我認為最簡單的方法就是口述，也就是能復述出來，或叫“背”、“默”，但不是死記硬背的意思，而是回顧，可能用理解和記憶這兩個此來描述更恰當，這也是很好的檢驗對數學知識是否學會的有效手段。

二、談怎樣解題（即核心問題和方法）的教學方法

數學習題包括例題和練習。例題和練習背后蘊含的是數學的問題（包括如何給出設問和如何給出條件）和方法（如何分析思路和如何設計步驟）。

原則（一）舉一反三：既要知道“怎樣做？”更要知道“怎樣想？”endprint

南京師大陶維林教授說，差的教師做給學生看，好的教師想給學生聽。只有教師解題教學行為的改變，才可能改變學生的解題行為，要關注學生的解題行為。比如，他們花多少時間讀題？為結果而教，忽視過程的教育價值，仍然是當前教學中的普遍現象。不要培養恨數學的人；在課堂上，老師應該裝傻，而不是犯傻。毫無疑問，這些觀點都是振聾發聵的。

首先，數學解題的教學需要多質疑“怎樣做？”的問題。著名數學家和數學教育家波利亞在解題表中將問題解決分為四步進行，第一步：你必須弄清問題。第二步：找出已知與未知的聯系。第三步：寫出你的想法。第四步：回顧。弄清問題即審題，后面的三步依次為擬定計劃、實現計劃、反思回顧。我更喜歡三步解題法，第一步解決思路問題，第二步解決運算問題，第三步解決結論問題，包括對結論的檢驗。這也是我一直強調的，即學會有條理的、分片段設計解題過程和步驟。

其次，數學解題的教學需要多質疑“怎樣想？”的問題。問題解決最關鍵的東西在于上述第一步，即思路問題，思路或靈感怎么來？我認為數學精神、思想、方法對尋找解題思路如數形結合、轉化化歸、分類分步、歸納演繹等數學思想有著無可替代的普遍意義和價值，尤其是在攻難題的時候。學數學要敢于攻難，對于困難，你若越怕難，一旦退縮，困難就會越大；而你若越迎難而上，困難反而越小，所以，遇到困難要有一點不畏難并且迎難而上的精神。做題如此，做人亦如此。不妨攻一攻難題，只要難得有價值，而不是鉆牛角尖，就應該迎難而上，否則缺了這種態度和精神的話，做人時遇事便倒，做題時也不會有真進步的。如何攻難呢？對于一道難題，你先解題的一部分！當你嘗試解題的一部分，或許你會發現一不小心就把整道題都解出來了，原來的所謂的難題也不那么難了！這是波利亞《怎樣解題》的智慧。

原則（二）一題多用，充分挖掘習題的教學功能

最欣賞廣東金中盧鎮豪老師的一句話：一題多用，充分挖掘例題的教學功能，重視一題多用，包括一題多思、一題多變、一題多解。我們不是為做題而做題，做一道題應該能解決一類問題，也就是舉一反三。不懂這一點，盲目刷題是學不好數學的。首先就是要重視解后思，其次就是要重視題的變化，其三就是要重視同一個問題的多種解法。只有這樣才能培養學生發散思維和創新意識。解題的教學的步驟應該是，思路分析、規范解答、功能挖掘。思路分析就是不僅要知道怎樣做的，更要知道怎樣想的。規范解答就是要有條理分步驟一個片段一個片段解題。功能挖掘不僅是指解題規律方法的總結，更要反思怎樣命題？包括怎樣給出條件？以及怎樣設問？對命題偏好的思考的深度取決于我們對數學內容的理解，是有用的，并非純粹出自應試的目的。

例如，怎樣解三角形題？首先，我們要反思解三角形要解決的核心問題是什么？包括怎么設問？通常是求邊、求角、求面積。怎么給出條件？如果給出三個條件，當然這個條件里邊還至少要有一條邊，那么這個三角形是可解的，一解或最多兩解，屬于容易題；如果給出兩個條件，那么這個三角形是不確定的，這時候可能會出現邊、角、面積的范圍討論，屬于中檔題。其次，我們要反思解三角形題的解題規律是什么？也就是解題思路和靈感從哪里來？角和邊是核心的概念，解題的思路和靈感從這里來，角的變換消角以及邊角互化是慣用技巧。對于正余弦定理的選擇，一般說來，角多的時候用正弦定理，角少的時候用余弦定理。

原則（三）先做后講

同知識教學應遵循先學后教的原則一樣，解題教學也應遵循先做后講的原則。尤其是課堂補充的材料應該提前發給學生，尤其是有相當難度的習題更應該如此。有些課堂老師直接用幻燈片投影出題，學生甚至都來得及仔細讀題審題，教師就提問學生或者就開始講題，這種做法是不可取的。我的觀點，數學課還是少用多媒體教學，多媒體只是輔助教學的工具而已，需要用幾何畫板展示動畫過程的例外，能夠不用多媒體還是盡量不用吧！現在極端的情況是投影完全替代板演，課堂過分強調技術注重形式，數學的思辨少了，數學味沒有了，這是我們不能不引起重視的。

原則（四）評價手段

為什么有的同學總是有這種現象，上課都能聽懂，考試就不會呢？這其實關系到如何評價解題教學的問題。對于解題教學怎樣才算學會？提出上述疑惑的同學，其中的原因如果從解題教學的角度來分析，有可能是在解題教學的過程中，總是習慣老師講學生聽，而很少動手，對于難的題目定是從來沒有完整過筆，也就是解題時特別是遇到難題時從來沒有完整的解完一道題，例如解析幾何的綜合題，這種題學生不自己動手是永遠解不會的。

結束語

清華大學教經濟學授錢穎一在一篇名為《中國教育的今天，就是中國經濟的明天》的文章中講到三個跟教育有關的故事，其中一個是這樣說的，中國學生回到家里，家長都問：“你今天學到了什么新知識？”據說猶太學生回到家里，家長卻問：“你今天問了什么好問題”。前者的落腳點是“學知識”，而后者的側重點是“提問題”。猶太文化與中國文化有兩點相似：一是注重家庭，二是注重教育。從一個小的細節就可以看出，但我們的教育方法與同樣重視教育的猶太人如此不同。見微可以知著，這難道不應該引起我們的反思嗎？

[ 參 考 文 獻 ]

[1]何小亞《中學數學教學設計》.

[2]曹廣福《問題驅動的數學教學理論與實踐》.

[3]盧鎮豪《教師專業成長印跡》.

[4]白濤《高考考什么及怎樣備考》.endprint