問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究

唐睿

【摘要】 怎樣上好一堂數(shù)學(xué)課？廣州大學(xué)曹廣福教授曾提出問(wèn)題驅(qū)動(dòng)一說(shuō)，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的頭腦思考問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，這才是數(shù)學(xué)教育之本質(zhì)。南京師大附中陶維林教授也曾提出問(wèn)題啟發(fā)一說(shuō)，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，在教學(xué)中教師最主要的任務(wù)就是提出問(wèn)題，以及引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題。教師最重要的也是最困難的，就是提好——問(wèn)題，提——好問(wèn)題。孔子的啟發(fā)式仍然是最好的教學(xué)方法，沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有啟發(fā)。本文將從曹教授問(wèn)題驅(qū)動(dòng)這一概念背景下，來(lái)探討高中數(shù)學(xué)即包括知識(shí)教學(xué)也包括解題教學(xué)的教學(xué)方法。問(wèn)題有兩類(lèi)，第一類(lèi)是關(guān)于知識(shí)教學(xué)的，即“是什么”和“為什么”的問(wèn)題；第二類(lèi)是關(guān)于怎樣解題的，即“怎么做”和“怎么想”的問(wèn)題。知識(shí)教學(xué)和怎樣解題的教學(xué)，這是數(shù)學(xué)課堂的兩大基本任務(wù)。數(shù)學(xué)課堂就是通過(guò)這兩大基本途徑來(lái)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)以及數(shù)學(xué)地思維的。希望通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)教材和高考試題的深入研究，而不至于使得這種探討變得空洞。但考慮到篇幅，將其放到本文的附錄部分中。

【關(guān)鍵詞】 問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)方法

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）09-114-02

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一、談數(shù)學(xué)知識(shí)（即核心概念和原理）的教學(xué)方法

我們把數(shù)學(xué)知識(shí)分為概念性知識(shí)和原理性知識(shí)，除了概念性知識(shí)，其余的諸如數(shù)學(xué)的公理、定理、公式、性質(zhì)、法則、步驟、方法等都統(tǒng)歸為原理性知識(shí)。

原則（一）固本浚源：既要知道“是什么？”更要知道“為什么？”

曹廣福教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂的靈魂是思想，缺少思想的教育不是教育，而是知識(shí)與技能培訓(xùn)。知識(shí)本身不是終極目標(biāo)，知識(shí)只是一種思想載體，是思想外化的表現(xiàn)。在他看來(lái)，課堂教學(xué)不能拘泥于教材，任何一門(mén)理論的產(chǎn)生都離不開(kāi)思辨，要增強(qiáng)課堂的彈性。

首先，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)需要多質(zhì)疑“是什么”的問(wèn)題，這叫求知。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)該抓住其本質(zhì)，或叫“固本”。梁漱溟先生在《談學(xué)問(wèn)》一文中開(kāi)篇就講“學(xué)問(wèn)貴能得要”也是這個(gè)意思。如何認(rèn)清事物的本質(zhì)？我認(rèn)為，關(guān)鍵在于領(lǐng)悟變化和不變的道理，尤其要知道變化中保持不變的東西才叫本質(zhì)。例如高中數(shù)學(xué)橢圓定義的教學(xué)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩條焦半徑是變化的，但變化中有不變性或不變量，這個(gè)不變量就是兩條焦半徑的和，這個(gè)不變的東西才是橢圓的本質(zhì)。此類(lèi)問(wèn)題還有很多，詳見(jiàn)本文附錄一數(shù)學(xué)教材研究部分。數(shù)學(xué)中的一切知識(shí)大概都源于對(duì)變化中那個(gè)不變東西的追求。這不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，更是一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，當(dāng)然數(shù)學(xué)跟哲學(xué)本身就不分家的。參變化之機(jī)悟不變之理，我把變化和不變稱(chēng)之為數(shù)學(xué)之一種精神。其一、不變是數(shù)學(xué)之追求，是信仰是永恒是終極是數(shù)學(xué)知識(shí)之本質(zhì)，如數(shù)學(xué)中的不變量、不變性、不動(dòng)點(diǎn)等；其二、變化是數(shù)學(xué)之智慧，是手段是方法是技巧是數(shù)學(xué)解題之規(guī)律，如結(jié)構(gòu)破壞、化曲為直、轉(zhuǎn)化化歸等都是在講變化。

其次，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)需要多質(zhì)疑“為什么”的問(wèn)題，這叫求真。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)該追問(wèn)其源起，或叫“浚源”。例如，高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入的教學(xué)，虛數(shù)是什么？為什么要有虛數(shù)？這是不能回避的問(wèn)題，人教版新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)只簡(jiǎn)單交代是方程的根，但為什么要使這樣的方程有根呢？這種追問(wèn)是有價(jià)值的！如果能進(jìn)一步回顧數(shù)的發(fā)展歷史和人類(lèi)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)歷程，包括無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生跟第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的關(guān)系，那么學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)的深度和廣度自然會(huì)達(dá)到一個(gè)更高的層次。更重要的是，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣被激發(fā)了！此類(lèi)問(wèn)題還有很多，詳見(jiàn)本文附錄一數(shù)學(xué)教材研究部分。當(dāng)然，這需要我們對(duì)數(shù)學(xué)史有一定的了解，數(shù)學(xué)史包括數(shù)學(xué)的人物史、符號(hào)史、思想史、危機(jī)史等等。

原則（二）異途同歸，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言又可歸結(jié)為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三類(lèi)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)理論的基本構(gòu)成成分，具有“高度的抽象性、良好的直觀性、嚴(yán)密的邏輯性”，應(yīng)用十分廣泛。簡(jiǎn)單地講，數(shù)學(xué)語(yǔ)言科學(xué)、簡(jiǎn)潔、通用。掌握好數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵！伽利略說(shuō)，世界是一本以數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的書(shū)。卡爾·薩根說(shuō)，宇宙中的技術(shù)文明無(wú)論差異多大，都有一種共同的語(yǔ)言——數(shù)學(xué)語(yǔ)言。我們?cè)诮虒W(xué)任何一種數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)論是概念性知識(shí)或者原理性知識(shí)，都應(yīng)該充分全面展示該種知識(shí)的不同語(yǔ)言也就是三種語(yǔ)言表達(dá)。這樣的例子是不勝枚舉的，例如集合的教學(xué)，縱觀全部高中數(shù)學(xué)知識(shí)，集合部分雖然簡(jiǎn)單，但是卻十分關(guān)鍵。可以這么說(shuō)，不懂集合語(yǔ)言，就不懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言。說(shuō)到底，還是數(shù)學(xué)的那三種語(yǔ)言，尤其是對(duì)符號(hào)語(yǔ)言即列舉法和描述法的認(rèn)識(shí)，看不懂其中的各種符號(hào)語(yǔ)言，就無(wú)法準(zhǔn)確理解一個(gè)集合中元素的構(gòu)成也就是該集合的含義。

原則（三）先學(xué)后教

對(duì)于學(xué)生來(lái)講，提前預(yù)習(xí)、正確聽(tīng)課、及時(shí)復(fù)習(xí)是中學(xué)的三大學(xué)習(xí)方法，根本在于課堂效率，關(guān)鍵在于提前預(yù)習(xí)。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，可以改進(jìn)的是提前備好一周的課，并改變自己習(xí)以為常的陳舊的教學(xué)觀念和行為。例如，作業(yè)布置的目的應(yīng)該改變，應(yīng)該變鞏固作業(yè)為主為預(yù)習(xí)作業(yè)為主，課堂教學(xué)的目的也應(yīng)該改變，應(yīng)該變被動(dòng)接受新知識(shí)為主為消化吸收新知識(shí)為主。這也是翻轉(zhuǎn)課堂的出發(fā)點(diǎn)和歸宿吧！

原則（四）評(píng)價(jià)手段

如何評(píng)價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，但又很重要。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)怎樣才算學(xué)會(huì)呢？我認(rèn)為最簡(jiǎn)單的方法就是口述，也就是能復(fù)述出來(lái)，或叫“背”、“默”，但不是死記硬背的意思，而是回顧，可能用理解和記憶這兩個(gè)此來(lái)描述更恰當(dāng)，這也是很好的檢驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)是否學(xué)會(huì)的有效手段。

二、談怎樣解題（即核心問(wèn)題和方法）的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)習(xí)題包括例題和練習(xí)。例題和練習(xí)背后蘊(yùn)含的是數(shù)學(xué)的問(wèn)題（包括如何給出設(shè)問(wèn)和如何給出條件）和方法（如何分析思路和如何設(shè)計(jì)步驟）。

原則（一）舉一反三：既要知道“怎樣做？”更要知道“怎樣想？”endprint

南京師大陶維林教授說(shuō)，差的教師做給學(xué)生看，好的教師想給學(xué)生聽(tīng)。只有教師解題教學(xué)行為的改變，才可能改變學(xué)生的解題行為，要關(guān)注學(xué)生的解題行為。比如，他們花多少時(shí)間讀題？為結(jié)果而教，忽視過(guò)程的教育價(jià)值，仍然是當(dāng)前教學(xué)中的普遍現(xiàn)象。不要培養(yǎng)恨數(shù)學(xué)的人；在課堂上，老師應(yīng)該裝傻，而不是犯傻。毫無(wú)疑問(wèn)，這些觀點(diǎn)都是振聾發(fā)聵的。

首先，數(shù)學(xué)解題的教學(xué)需要多質(zhì)疑“怎樣做？”的問(wèn)題。著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞在解題表中將問(wèn)題解決分為四步進(jìn)行，第一步：你必須弄清問(wèn)題。第二步：找出已知與未知的聯(lián)系。第三步：寫(xiě)出你的想法。第四步：回顧。弄清問(wèn)題即審題，后面的三步依次為擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、反思回顧。我更喜歡三步解題法，第一步解決思路問(wèn)題，第二步解決運(yùn)算問(wèn)題，第三步解決結(jié)論問(wèn)題，包括對(duì)結(jié)論的檢驗(yàn)。這也是我一直強(qiáng)調(diào)的，即學(xué)會(huì)有條理的、分片段設(shè)計(jì)解題過(guò)程和步驟。

其次，數(shù)學(xué)解題的教學(xué)需要多質(zhì)疑“怎樣想？”的問(wèn)題。問(wèn)題解決最關(guān)鍵的東西在于上述第一步，即思路問(wèn)題，思路或靈感怎么來(lái)？我認(rèn)為數(shù)學(xué)精神、思想、方法對(duì)尋找解題思路如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類(lèi)分步、歸納演繹等數(shù)學(xué)思想有著無(wú)可替代的普遍意義和價(jià)值，尤其是在攻難題的時(shí)候。學(xué)數(shù)學(xué)要敢于攻難，對(duì)于困難，你若越怕難，一旦退縮，困難就會(huì)越大；而你若越迎難而上，困難反而越小，所以，遇到困難要有一點(diǎn)不畏難并且迎難而上的精神。做題如此，做人亦如此。不妨攻一攻難題，只要難得有價(jià)值，而不是鉆牛角尖，就應(yīng)該迎難而上，否則缺了這種態(tài)度和精神的話(huà)，做人時(shí)遇事便倒，做題時(shí)也不會(huì)有真進(jìn)步的。如何攻難呢？對(duì)于一道難題，你先解題的一部分！當(dāng)你嘗試解題的一部分，或許你會(huì)發(fā)現(xiàn)一不小心就把整道題都解出來(lái)了，原來(lái)的所謂的難題也不那么難了！這是波利亞《怎樣解題》的智慧。

原則（二）一題多用，充分挖掘習(xí)題的教學(xué)功能

最欣賞廣東金中盧鎮(zhèn)豪老師的一句話(huà)：一題多用，充分挖掘例題的教學(xué)功能，重視一題多用，包括一題多思、一題多變、一題多解。我們不是為做題而做題，做一道題應(yīng)該能解決一類(lèi)問(wèn)題，也就是舉一反三。不懂這一點(diǎn)，盲目刷題是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。首先就是要重視解后思，其次就是要重視題的變化，其三就是要重視同一個(gè)問(wèn)題的多種解法。只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí)。解題的教學(xué)的步驟應(yīng)該是，思路分析、規(guī)范解答、功能挖掘。思路分析就是不僅要知道怎樣做的，更要知道怎樣想的。規(guī)范解答就是要有條理分步驟一個(gè)片段一個(gè)片段解題。功能挖掘不僅是指解題規(guī)律方法的總結(jié)，更要反思怎樣命題？包括怎樣給出條件？以及怎樣設(shè)問(wèn)？對(duì)命題偏好的思考的深度取決于我們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，是有用的，并非純粹出自應(yīng)試的目的。

例如，怎樣解三角形題？首先，我們要反思解三角形要解決的核心問(wèn)題是什么？包括怎么設(shè)問(wèn)？通常是求邊、求角、求面積。怎么給出條件？如果給出三個(gè)條件，當(dāng)然這個(gè)條件里邊還至少要有一條邊，那么這個(gè)三角形是可解的，一解或最多兩解，屬于容易題；如果給出兩個(gè)條件，那么這個(gè)三角形是不確定的，這時(shí)候可能會(huì)出現(xiàn)邊、角、面積的范圍討論，屬于中檔題。其次，我們要反思解三角形題的解題規(guī)律是什么？也就是解題思路和靈感從哪里來(lái)？角和邊是核心的概念，解題的思路和靈感從這里來(lái)，角的變換消角以及邊角互化是慣用技巧。對(duì)于正余弦定理的選擇，一般說(shuō)來(lái)，角多的時(shí)候用正弦定理，角少的時(shí)候用余弦定理。

原則（三）先做后講

同知識(shí)教學(xué)應(yīng)遵循先學(xué)后教的原則一樣，解題教學(xué)也應(yīng)遵循先做后講的原則。尤其是課堂補(bǔ)充的材料應(yīng)該提前發(fā)給學(xué)生，尤其是有相當(dāng)難度的習(xí)題更應(yīng)該如此。有些課堂老師直接用幻燈片投影出題，學(xué)生甚至都來(lái)得及仔細(xì)讀題審題，教師就提問(wèn)學(xué)生或者就開(kāi)始講題，這種做法是不可取的。我的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)課還是少用多媒體教學(xué)，多媒體只是輔助教學(xué)的工具而已，需要用幾何畫(huà)板展示動(dòng)畫(huà)過(guò)程的例外，能夠不用多媒體還是盡量不用吧！現(xiàn)在極端的情況是投影完全替代板演，課堂過(guò)分強(qiáng)調(diào)技術(shù)注重形式，數(shù)學(xué)的思辨少了，數(shù)學(xué)味沒(méi)有了，這是我們不能不引起重視的。

原則（四）評(píng)價(jià)手段

為什么有的同學(xué)總是有這種現(xiàn)象，上課都能聽(tīng)懂，考試就不會(huì)呢？這其實(shí)關(guān)系到如何評(píng)價(jià)解題教學(xué)的問(wèn)題。對(duì)于解題教學(xué)怎樣才算學(xué)會(huì)？提出上述疑惑的同學(xué)，其中的原因如果從解題教學(xué)的角度來(lái)分析，有可能是在解題教學(xué)的過(guò)程中，總是習(xí)慣老師講學(xué)生聽(tīng)，而很少動(dòng)手，對(duì)于難的題目定是從來(lái)沒(méi)有完整過(guò)筆，也就是解題時(shí)特別是遇到難題時(shí)從來(lái)沒(méi)有完整的解完一道題，例如解析幾何的綜合題，這種題學(xué)生不自己動(dòng)手是永遠(yuǎn)解不會(huì)的。

結(jié)束語(yǔ)

清華大學(xué)教經(jīng)濟(jì)學(xué)授錢(qián)穎一在一篇名為《中國(guó)教育的今天，就是中國(guó)經(jīng)濟(jì)的明天》的文章中講到三個(gè)跟教育有關(guān)的故事，其中一個(gè)是這樣說(shuō)的，中國(guó)學(xué)生回到家里，家長(zhǎng)都問(wèn)：“你今天學(xué)到了什么新知識(shí)？”據(jù)說(shuō)猶太學(xué)生回到家里，家長(zhǎng)卻問(wèn)：“你今天問(wèn)了什么好問(wèn)題”。前者的落腳點(diǎn)是“學(xué)知識(shí)”，而后者的側(cè)重點(diǎn)是“提問(wèn)題”。猶太文化與中國(guó)文化有兩點(diǎn)相似：一是注重家庭，二是注重教育。從一個(gè)小的細(xì)節(jié)就可以看出，但我們的教育方法與同樣重視教育的猶太人如此不同。見(jiàn)微可以知著，這難道不應(yīng)該引起我們的反思嗎？

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]何小亞《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》.

[2]曹廣福《問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理論與實(shí)踐》.

[3]盧鎮(zhèn)豪《教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)印跡》.

[4]白濤《高考考什么及怎樣備考》.endprint