幾何畫板：數學教學的催化劑

張衛(wèi)星，浙江省仙居縣白塔鎮(zhèn)第二小學副校長，高級教師。曾被評為仙居縣教壇新秀、仙居縣學科帶頭人、臺州市骨干教師。曾主持8項數學課題的研究，其中《本色課堂：“數學味”與“兒童味”有效融合的教學改進》獲臺州市教育科學研究成果一等獎。在各級教育刊物發(fā)表論文和案例192篇，曾獲長三角“黃浦杯”“我的教改故事”征文一等獎。多次指導青年教師在臺州市課堂教學評比中獲獎。

[摘 要]利用幾何畫板可以做出各種神奇的圖形，能很好地把數和形的潛在關系及其幾何圖形變化過程動態(tài)形象地顯示出來，以便個體隨時觀察到各種情況下的數量關系及其變化。因此，幾何畫板是數學教學的催化劑，教師要學會妥善使用它。教師要在教學設計的基礎上加強對這一工具的學習，讓幾何畫板的使用恰如其分。

[關鍵詞]數學教學；幾何畫板；高效數學；催化劑

“數形結合”和“運動變化”是小學數學學習中重要的思想方法，如何在小學階段開啟學生數學思考的大門，幾何畫板不失為一個簡單實用的工具。教師可以利用幾何畫板做出各種神奇的圖形，把數和形的潛在關系及其幾何圖形變化過程動態(tài)形象地顯示出來，使學生隨時觀察到各種情況下的數量關系及其變化。教師還可利用幾何畫板制作出各種動態(tài)圖像模型，具有PowerPoint無可比擬的作用。因此，利用好幾何畫板，有助于教師實現(xiàn)高效數學教學。

一、幾何畫板的優(yōu)勢

1.動態(tài)直觀代替簡易模型

在設計量或圖形的變化教學中，相對傳統(tǒng)教學用簡易模型演示，幾何畫板凸顯了其直觀明了、操作自如、攜帶方便等優(yōu)點。利用幾何畫板呈現(xiàn)的直觀具體的教學材料可以培養(yǎng)學生的直覺思維，利用幾何畫板呈現(xiàn)的動態(tài)的思維材料可以培養(yǎng)學生的抽象思維，發(fā)展學生的想象力和創(chuàng)造力。

2.具象圖形代替抽象語言

依據小學生的心理特點，數學教學最忌教師的空口解釋，單純的文字語言無助于學生對數學的理解，而幾何畫板能讓學生不僅聽得見，更看得清，想得明，從而能夠更好地理解數學。

二、幾何畫板的效益

1.讓學生的觀察更細一點

數學觀察的過程是一種心理過程，在這個過程中，人們會對特定數學事物或現(xiàn)象進行深入的分析，全面了解其表征和本質，努力發(fā)現(xiàn)其本來面目，并進行概念上的確定。具體到數學教學活動，學生的觀察就是要對數和形產生一種有意識的感知。數學感知活動的對象不僅包括簡單的符號和數字，還包括一些較為復雜的命題、關系式、圖形等。由于小學生的觀察水平不高，往往比較粗略，所以不能把握事物或現(xiàn)象的本質。而利用幾何畫板可以讓學生的觀察更精細，從而引導學生發(fā)現(xiàn)數學事物或現(xiàn)象的本質，取得較高的學習效益。

例如“角的初步認識”的教學。由于數學抽象的角和生活中的角有很大區(qū)別，教師拿紙做的角作為例子講解，效果并不理想，學生始終認為整個角所在的面變大了，就是角變大了，對角的大小是指兩邊張開的大小實際上并不理會，從而很難理解角的大小變化特點。千言萬語抵不過一個動態(tài)演示：幾何畫板中，角的大小發(fā)生了變化時，表示角的符號的顏色也隨之發(fā)生變化；反之，角的大小不變時，顏色也不變（見圖1）。通過觀察，之后的總結也就水到渠成了。

又如“正方體的展開圖”的教學。學生需要親自經歷正方體展開的過程，動手剪出完整的面，但是剪的過程需要一定技巧，很多學生在嘗試的時候把其中的某個面剪斷了，影響了教學效果。而利用幾何畫板反復向學生動態(tài)展現(xiàn)正方體的展開過程和組合過程后（見圖2），學生經多次觀察，然后再次動手操作，效率大大提高了。

再如“圓的面積”的教學。通過幾何畫板可以改變參數，讓學生慢慢感受把圓形平均分得越多越接近方形的道理（見圖3），讓學生觀察更細致，從而深刻理解化圓為方的數學思想。

2.讓學生的方法更多一點

學生的數學思維具有拓展性。如果教師能給學生多創(chuàng)造一些思考的情境，多提供一些思考的時間，多給予一些表現(xiàn)的機會，就可以讓學生體驗更多的學習數學的方法，從而讓他們最大限度地發(fā)揮學習自主性，自由翱翔在數學知識的海洋里，探求知識的奧妙，達到“自我實現(xiàn)”和“個性完善”的理想境界。而幾何畫板恰恰是可以讓學生感悟更多學習數學方法的有效載體。

例如“三角形的內角和”的教學。學生可以用量的不完全歸納法，但有誤差；也可以通過180度和平角的關系想到把三個角拉到一起；也可以通過剪拼去發(fā)現(xiàn)；還可以通過幾何畫板的動態(tài)演示來證明。實際上，利用幾何畫板還可以畫出三角形的高，并以高和底邊的交點為參照點，分別向這一點翻折三個角，剛好拼成一個平角（見圖4）。

三角形的內角和是180°，這個結論大多數學生都預先知道，因此他們沒有探究的欲望。即便學生配合老師，硬著頭皮探究，也只是浮于表面，探究方法也僅僅局限于少數學生告知的“測量求和”。至于“折”“拼”等方法，也只是先看了書的幾位學生表演，對更多的學生而言僅僅是由教師“告知”變?yōu)閷W生“教給”而已。無論哪種方法，客觀存在的不可避免的誤差，總使得“三角形內角和是180°”這個結論不足以讓人信服。而利用幾何畫板則可以動態(tài)地精確顯示每個角的度數，并且可以自動計算三個角的和（見圖5）。

利用幾何畫板的動畫技術可以充分調動學生學習的積極性，吸引學生的注意力，使學生在輕松、愉快的氛圍中對三角形的內角和產生根深蒂固的印象。

3.讓學生的興趣更濃一點

興趣是最好的老師。教師要把培養(yǎng)學生的學習興趣放在重要的位置。有趣味的數學會使學生學起來輕松快樂。

例如“觀察物體”的教學。學生最熱衷于在游戲中學數學，通過親身經歷去理解。如果二年級的“觀察物體”可以帶小熊等具體物品，那么到了四年級，學生必須學會抽象思考和想象。如類似游戲的疊方塊三視圖（見圖6），在學生遇到難度較大的問題需要想象時，可以進行無實物操作，同時也可以給空間觀念欠缺的學生提供補充學習的契機。幾何畫板所具有的動態(tài)變化特性可以讓學生學習數學的興趣更濃厚一點。endprint

4.讓學生的效率更高一點

古人云：“授人以魚，足解一日之饑；授人以漁，足食終身之魚。”自古以來，人們就明白傳授方法是教育的關鍵，那么在踐行數學核心素養(yǎng)的背景下，更要明白掌握方法的重要性。應該通過“授之以漁”讓學生終身受益，更要讓學生學會獨立思考，學以致用，舉一反三，觸類旁通。

例如“三角形的認識”的教學。學生總是對“底和高都相同的三角形有無數個”這一判斷一錯再錯。黑板畫圖演示一兩遍，對一部分學生來說遠遠不夠，三番五次顯然不可能，而通過幾何畫板則可以把圖保存起來，以備學生不時之需。利用幾何畫板，在兩固定平行線間畫底邊為AB的三角形，AB在其中一條平行線上，在另一條平行線上任意移動C點位置，可得到不同的三角形（見圖7）。這樣的演示，可以讓學生充分理解“底和高都相同的三角形有無數個”這一論斷，從而提高了學習效率。

又如“認識鐘表”的教學。教師往往借助鐘表實物、鐘表道具或模型等載體進行教學，或是采用多媒體軟件制作課件，給學生演示時鐘轉動及時刻的認識。實際上，運用幾何畫板可以讓“認識鐘表”更高效。對于“認識鐘表”任意階段的學習任務，均可以利用幾何畫板中的鐘面，只要在參數設置里調整所需要的任意時刻（見圖8），就能方便學生各種形式的練習。可謂“一物在手，一切都有”。

5.讓學生的理解更透一點

學生對數學知識的理解是逐漸由淺入深的。起初，在感知基礎上對頭腦里所形成的知識表象作初步加工，形成一些比較籠統(tǒng)的、粗糙的認識。接著，在此基礎上對所學知識進一步精確理解。對于一些要求熟練掌握的數學知識，教師還應讓學生進一步更深刻地理解，使其達到融會貫通的水平。從創(chuàng)新教育的角度來講，教師還應鼓勵學生創(chuàng)造性地理解數學知識，讓他們發(fā)表與教材描述和教師講解不一樣的獨特見解，提出與眾不同的解題思路。而幾何畫板的運用恰恰可以為學生的創(chuàng)造性理解提供支撐和服務。

例如“直線、線段和射線”的教學。嚴格地說，生活中難以找到無限延伸的例子，教材中是讓學生想象一下手電筒照射出去形成的光線。為了加深對無限延伸的理解，有的教師會舉金箍棒的例子，把數學課上得生動形象。而幾何畫板能把抽象的數學知識用圖形語言展現(xiàn)出來（見圖9），這種具體化的“抽象”是學生形成數學素養(yǎng)的必經之路。因為，不久之后學生便要面臨用符號和圖形表達現(xiàn)實世界的空間形式和數量關系。幾何畫板的迭代功能很強，能夠完成具有一定規(guī)律的幾何圖形的循環(huán)構造，輕易實現(xiàn)“數形結合”，從而促進學生對數學本質的理解，所以教師應對其充分利用。

總之，幾何畫板的推陳出新改變了枯燥乏味、外表冰冷的數學課堂，給學生帶來新奇感，從而讓數學教學的效益更高。當然幾何畫板也不是“萬能膠”，它的使用需要從實際出發(fā)，努力用在教學的重難點處。因此，教師要在精心教學設計的基礎上加強技術學習，使幾何畫板的使用恰如其分，力爭讓幾何畫板成為數學高效課堂的催化劑。

（責任編輯 郭向和）endprint