如何引領學生學會適當地應用數學聯想

仇海寧

摘要：在高中數學教學中，教師要通過巧妙點撥、新奇設問、精心為學生創設聯想情境，使學生實現由此及彼，由表及里的認識飛躍，從而“探索”到解題的途徑。本文從培養高中學生數學聯想能力的意義出發，探討了有效培養學生聯想能力的途徑。

關鍵詞：數學教學；聯想能力；培養途徑

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）21-035-1

對于一個非常規的數學問題，不少學生往往覺得難就難在沒想到，想到了似乎就頓時豁然開朗了。因此，我們應教會學生學會適當地應用數學聯想，這樣往往能化繁為簡，使難題迎刃而解，從而大大提高數學解題的效率。

一、培養高中學生數學聯想能力的意義

數學解題的思維過程實質上是已知和未知之間的一系列的聯想過程。因此在解題時，教師要引導學生通過仔細的觀察、分析，必要時畫出示意圖，把條件和結論反映到圖形上，由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數學解題思想、解題方法、解題技巧、解題規律以及熟知的相關問題的解法，由此連續化簡條件和結論，建立條件與求解目標之間的邏輯聯系，從而就找到了解題的思路和方法。因此，我們可以理解，應用聯想，可以實現數學學科與生活的溝通，降低學習難度；應用聯想，可以實現新舊知識的溝通，提高數學學習效率；應用聯想，能夠幫助學生形成完整的知識網絡，提高數學思維能力；應用聯想，能夠形成完整的數學能力結構，培養學生的創新能力。

二、數學教學中有效培養學生聯想能力的途徑

聯想本義是指一種事物和另一種事物相類似時，往往會從這一事物引起對另一事物的聯想。聯想是可以是因一事物而想起與之有關事物的思想活動；也可以是由于某人或某種事物而想起其他相關的人或事物；還可以是由某一概念而引起其他相關的概念。聯想是暫時神經聯系的復活，是事物之間聯系和關系的反應。在高中數學解題中，聯想應該是一種自覺的行為，是一種習慣性的思維方式。下面我將以例題分析的形式從以下幾方面談談如何有效培養學生的聯想能力。

1.數學聯想要整體把握數學形式

例1：已知a，b∈R，且a，b≤1，若a1-b2+b1-a2=1。求證：a2+b2=1。

解析：就本題所給條件來看，題目條件變形起來顯然沒那么容易。但是從純代數的角度分析，此題可以用柯西不等式來證明。

從題目所給結論顯然能夠看出點（a，b）在單位圓x2+y2=1上，由此，如果可以聯想條件，容易得出點A（a，1-a2），B（b，1-b2）均在單位圓x2+y2=1上，且點C（1-b2，b），D（b，-1-b2）也在此單位圓上。

那么a1-b2+b1-a2=1表明向量OA，OC的數量積為1。所以向量OA，OC夾角為0，故向量OA，OC重合。因此a=1-b2，b=1-a2，所以a2+b2=1得證。

正是由于把握了同一數學對象的不同表達形式，才使得一種快捷的解決問題的方法應運而生。

2.數學聯想要勇于應用幾何性質

例2：已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點分別為F1、F2，若雙曲線的左支上存在一點P關于直線l：y=bax對稱，則雙曲線的離心率為。

解析：此題從正面考慮，可以設出點P坐標，然后根據對稱性質，列出方程，求解出坐標，再將點P代入雙曲線方程即可解出離心率。但是，因為此題字母較多，顯然此法不太合適。

如若聯系幾何性質，利用幾何圖形，不難發現，利用雙曲線的幾何性質，點F2到漸近線l的距離為|MF2|=b，又點P與點F2關于直線l對稱，故l垂直平分線段|PF2|，所以點M為線段PF2的中點，則OM為△PF1F2的中位線，那么|PF2|=2b，|PF1|=2a，又由雙曲線定義，|PF2|-|PF1|=2a，所以b=2a，c=5a，則離心率為5。

3.教會學生聯想的方法

數學學習中所開展的聯想大都是“控制聯想”，而控制聯想是根據一定的條件與要求去進行的，存在幾個選擇性問題。因此，教師應教會學生怎樣根據題目的條件與結論有選擇地去開展聯想，而不是胡思亂想。此外，教師還應教會學生從不同角度、各個方面去聯想，防止聯想過程中的一線性和單向性。如當一個問題找不到解決它的方法和途徑時，在仔細觀察問題的條件和結論后，回憶過去已學過的知識中有哪一些與本題的條件或結論相近、相似或相反，它們在哪些方面接近、相似或相反，用這些已學過的知識能否解決。如果碰壁，再從其它關系來回憶有關的知識，搜集有用的信息。另外，能力是在活動中形成和發展起來的，為了培養學生的聯想能力，要有計劃地指導學生開展接近聯想、類似聯想和對立聯想，一般性聯想和特殊性聯想等的訓練，以促使學生聯想能力的發展。數形結合就是聯想的有效方法之一。例如，求最小值。通過分析，學生發現如果運用代數方法，此題顯得既繁又難，若將原式稍做變形，便可聯想到兩點間距離公式，進而聯想到求y的最小值就是求動點A（x，0）到兩定點B（1，1），C（3，2）距離之和的最小值，動點A在x軸上移動。通過直觀圖形，問題便可變得簡捷易懂，真可謂以奇制勝。

總之，高中數學知識內容不像初中數學那樣單一，高中數學知識更加復雜化、靈活化、綜合化。所以，在高中數學解題中思路往往不能僅僅局限在一定范圍內，思維方式不能僵化。恰當應用數學聯想，能夠使我們大大提高解題的效率。因此，不管是教還是學，我們都要習慣于將知識深入理解、變形、融合、訓練，最終達到掌握、綜合應用的目的。endprint