探究初中數(shù)學(xué)中一次函數(shù)與方程的關(guān)系

廖小舟

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教材中，一次函數(shù)與方程歷來(lái)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而在新人教版教材中，也是學(xué)生必須要掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容。如此才能更好地幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)在生活中遇到的難題，以此運(yùn)用一次函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行解決，利用函數(shù)圖像的變化規(guī)律來(lái)判斷事物發(fā)展的態(tài)勢(shì)，從而規(guī)避生活中可能出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)，這就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)與方程課程的重要目的，引導(dǎo)學(xué)生樹立此種思維分析

模式。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)：一次函數(shù)與方程的關(guān)系；新人教版

一、學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)與方程時(shí)出現(xiàn)的問題

很多學(xué)生在剛接觸一次函數(shù)與方程時(shí)普遍反應(yīng)很難，根本不知所云，這已經(jīng)成為普遍現(xiàn)象。其實(shí)單獨(dú)看待方程學(xué)生反而更容易理解，若單獨(dú)學(xué)習(xí)函數(shù)，學(xué)生也能普遍跟上節(jié)奏，但是當(dāng)二者相互抵和時(shí)，學(xué)生則混沌不清。這說明學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的理解相對(duì)片面，不能真正掌握其精髓，以至于難度稍微增加，則感覺非常吃力。這部分內(nèi)容要想徹底學(xué)好學(xué)通，學(xué)生必須要對(duì)二者的關(guān)系有個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，這也是本文內(nèi)容所要講述的重點(diǎn)問題。只有在對(duì)二者關(guān)系清晰理解的情形下，學(xué)生才能對(duì)所學(xué)內(nèi)容有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，這樣在做題時(shí)才不會(huì)無(wú)從下手。

二、簡(jiǎn)要概述一次函數(shù)與方程的關(guān)系

1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，其中k和b都表示常量，且k≠0。而在求解直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)時(shí)，可使得y=0，同時(shí)還要求k≠0，則得到kx+b=0，以此按照方程運(yùn)算法則進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算，則得出x=-■，即直線y=kx+b交x軸于（-■，0），也就是說

-■就是直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這也就是二者的關(guān)系所在，可以進(jìn)行有機(jī)轉(zhuǎn)化，互相表示；還可以利用函數(shù)圖像的方法將方程的結(jié)果具體在數(shù)軸上表示出來(lái)，從而幫助學(xué)生進(jìn)行題目的理解。

2.一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系

通過一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系不難判斷出一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系，其二元一次方程（組）的最終結(jié)果也可以利用函數(shù)圖像在數(shù)軸上具體表示出來(lái)。需要注意的是，一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b的本身就是二元一次方程的表示，所以當(dāng)k≠0時(shí)，圖像上有好多的點(diǎn)表示y=kx+b的解，也就是說二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)。這是不同于一元一次方程的表示，呈現(xiàn)得更為全面，符合整個(gè)解結(jié)果的范圍，更加能夠清晰地表示圖像的走勢(shì)等內(nèi)容，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。通過將二者的關(guān)系條分理析，學(xué)生在做難度稍大的題目時(shí)也更容易尋找突破點(diǎn)，從而將其攻破。

三、具體分析一次函數(shù)與方程的應(yīng)用

1.一次函數(shù)與一元一次方程的應(yīng)用

在新人教版的教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)這一內(nèi)容的例題設(shè)置都與方程有緊密的聯(lián)系，如例題：“已知直線y=（3m+2）x+2和y=-3x+6交于x軸上同一點(diǎn)，則m的值為多少？”在看到此類問題時(shí)，好多學(xué)生就抓緊時(shí)間拿出筆來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這是筆者所不提倡的。所謂“書讀百遍，其義自見”，在做題中也是如此。學(xué)生應(yīng)該就題目做出簡(jiǎn)要分析，了解題目已知條件中的具體含義再進(jìn)行計(jì)算，以免匆忙中出現(xiàn)錯(cuò)誤。此題中交代兩條直線同時(shí)交于x軸上同一點(diǎn)，則含義為兩條直線都是y=0的情形下得出的，知道此含義后則將再進(jìn)行計(jì)算也就更加容易了，即y=（3m+2）x+2=-3x+6=0，解得m=-1。至此這問題得到圓滿的解答，由此我們還可以進(jìn)一步分析，由m=-1代入原式中，得出y=-x+2。在此種情形下則進(jìn)一步分析出該函數(shù)的具體解析式，學(xué)生在進(jìn)行圖像表示時(shí)也就方便計(jì)算了。此題名義是解答函數(shù)問題，但其計(jì)算過程卻是方程計(jì)算的應(yīng)用法則，這也就是數(shù)學(xué)學(xué)科的奧秘之處，彼此能夠相互轉(zhuǎn)化相互促進(jìn)相互利用，學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容后有助于思維觀念的發(fā)散與

開拓。

2.一次函數(shù)與二元一次方程的應(yīng)用

如例題已知方程組y-ax=c，y-kx=b其中a、b、c、k均為常數(shù)，且ak≠0的解為x=-2，y=3，則直線y=ax+c和直線y=kx+b的交點(diǎn)坐標(biāo)為多少。這一類型的題目也是常考的范圍，除了運(yùn)用方程組的相關(guān)內(nèi)容外還涉及一次函數(shù)與其的聯(lián)系，并且進(jìn)一步升華求所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。同理學(xué)生在明確題目?jī)?nèi)容后在進(jìn)行下手計(jì)算，由已知條件出發(fā)，將x=-2，y=3直接代入方程組中則化為y=ax+c。y=kx+b，由此再進(jìn)行計(jì)算得出方程組的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3）。值得一提的是，很多學(xué)生被題中的字母表示迷惑，感覺無(wú)從下手，題目中明確告知其中a、b、c、k均為常數(shù)，且ak≠0，則我們就可以認(rèn)為這些字母是已知的確定的數(shù)字，這樣再解答題目就非常容易了。很多難題的設(shè)置都有其突破口，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)找尋突破口，是指引學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程關(guān)系的重要方法，當(dāng)學(xué)生遇到問題，就能運(yùn)用自己熟練掌握的知識(shí)進(jìn)行分析、理解。比如可以用解方程的形式來(lái)解答，也可以用函數(shù)圖像的形式來(lái)表現(xiàn)，只要將問題理解清楚，讓步驟具有條理，這就是做題的意義。能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)活學(xué)活用、靈活變通。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)中進(jìn)行一次函數(shù)與方程內(nèi)容的學(xué)習(xí)不僅能夠拓寬學(xué)生的知識(shí)理解、解題技巧，還能夠幫助學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化、隨機(jī)應(yīng)變，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力更加多元化，富于創(chuàng)造力。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊文琴.初中一次函數(shù)教學(xué)的困難與對(duì)策[J].中華少年， 2016（27）.

[2]肖霄.初中生函數(shù)應(yīng)用題解題障礙的研究[D].西南大學(xué)， 2014.

[3]陳燁.針對(duì)初中函數(shù)學(xué)習(xí)困難的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐[D].山東師范大學(xué)，2013.

編輯 李博寧