例談初中數(shù)學(xué)的分類討論意識(shí)的培養(yǎng)與運(yùn)用

王明

摘 要：分類討論思想是把所考慮的對(duì)象分成若干個(gè)不同的情形下或條件下分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)初涉這種思想方法，因此培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想方法的意識(shí)和運(yùn)用具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：分類討論；問題解決；數(shù)學(xué)教學(xué)

分類討論思想是將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一個(gè)重要方法，即將一個(gè)綜合性較強(qiáng)，思路較復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)中不同情況下或不同條件下的單一問題，從而使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。近年來，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的不斷改革，素質(zhì)教育下教學(xué)逐步走向注重生活問題與初中數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密聯(lián)系。例如出租車計(jì)費(fèi)問題，家庭水電煤費(fèi)的繳納，個(gè)人所得稅的繳納以及醫(yī)保報(bào)銷費(fèi)等等，無不蘊(yùn)含著分類討論的數(shù)學(xué)思想。而這些對(duì)初次接觸的初中生來講無疑是個(gè)難題，思路難理清，方法不到位，解答過程凌亂。那么，作為一線教師該如何培養(yǎng)學(xué)生的分類討論的意識(shí)，以及如何有條理地分類，清晰地解答，是我們一線教師需要考慮和解決的問題。

一、 從生活實(shí)際入手，培養(yǎng)分類討論的意識(shí)

例1 某城市按以下規(guī)定收取每月的水費(fèi)：用水量不超過6噸，按每噸1.2元收費(fèi)；如果超過6噸，未超過部分仍按每噸1.2元收取，而超過部分則按每噸2元收費(fèi).如果某用戶5月份繳了水費(fèi)11.2元，那么該用戶5月份用水量為多少？

分析：這是一個(gè)生活中階梯收費(fèi)的問題，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，其中分類計(jì)算的需求也很自然，很明顯。計(jì)算時(shí)，需要考慮用水量是否超過還是不足6噸。分類討論的實(shí)際運(yùn)用是一種生活實(shí)例對(duì)不同情況下的要求，也是我們?yōu)楦佑欣趯?shí)際問題的解決所采用的一種手段。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中需時(shí)時(shí)與生活聯(lián)系，將分類討論的意識(shí)“潤(rùn)物細(xì)無聲”地交給學(xué)生。

二、 尋找分類討論的出發(fā)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

例2 當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)y=（a-1）x2+2x-3與x軸有交點(diǎn)？

分析：1. a=1時(shí)，一次函數(shù)y=2x-3與x軸必有交點(diǎn)；2. a≠1時(shí)，為二次函數(shù)，當(dāng)Δ=4+12（a-1）=0，即a=23時(shí)，與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ>0，即a>23時(shí)，與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0，即a<23時(shí)，與x軸無交點(diǎn)。以上分類從函數(shù)這一概念入手條理清晰，教學(xué)過程符合學(xué)生的認(rèn)知順序，能讓學(xué)生較自然地理解，思維簡(jiǎn)明清晰，解答過程亦能順暢書寫。教學(xué)中需讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“函數(shù)”這一概念是分類討論的出發(fā)點(diǎn)，而到了二次函數(shù)則考查Δ的情況是一種常規(guī)思路。

例3 （例題教學(xué)）證明：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。

教學(xué)設(shè)計(jì)：1. 我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)的時(shí)從圖（1）的特殊情況入手：因?yàn)镺A=OC，所以∠A=∠C，所以∠BOC=∠A+∠C=2∠A，所以∠A=12∠BOC。2. 思考與討論：如圖（2），BC所對(duì)的圓心角有多少個(gè)？BC所對(duì)的圓周角有多少個(gè)？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出BC所對(duì)的圓心角和圓周角，并與同學(xué)們交流。觀察上圖，在畫出的無數(shù)個(gè)圓周角中，這些圓周角與圓心O有幾種位置關(guān)系？提問：設(shè)BC所對(duì)的圓周角為∠BAC，除了圓心O在∠BAC的一邊上外，圓心O與∠BAC還有哪幾種位置關(guān)系？對(duì)于這幾種位置關(guān)系，結(jié)論∠BAC=12∠BOC還成立嗎？試證明之。

分析：如圖（3），連接AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，則根據(jù)三角形外角和定理和上面圖（1）的情形知：∠BOC=∠BOD+∠DOC=2∠BAD+2∠DAC=2（∠BAD+∠DAC）=2∠BAC，所以∠BAC=12∠BOC；如圖（4），延長(zhǎng)BO交圓O于點(diǎn)E，連接CE，易證∠BAC=∠BEC=12∠BOC。以上分析從圓心O在∠BAC一邊上這種特殊位置開始，分為點(diǎn)O在∠BAC的內(nèi)部和外部，需添加輔助線，轉(zhuǎn)化為第一種特殊位置證明的方法給予證明。這樣的分類從特殊入手，過渡到一般情形，學(xué)生較容易能理解和接受。難點(diǎn)在于圖（3）圖（4）的情況需要思考周全，不能遺漏。緊接著，在此基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步拓展到圓外角、圓內(nèi)角和圓周角的大小關(guān)系，亦是把圓周角看做特殊情形，推廣到圓外角和圓內(nèi)角。

拓展題1 如圖（5），點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在圓外，CD、BD分別交⊙O于點(diǎn)E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由。

拓展題2 如圖（6），點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，點(diǎn)A與點(diǎn)D在點(diǎn)B、C所在直線的同側(cè)，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由。

此兩題的解答需要添加輔助線，構(gòu)造相關(guān)的圓周角進(jìn)行解答，讀者可自己嘗試。

三、 充分運(yùn)用分類討論思想，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)

中考試題中，很多題目是集方程、函數(shù)和幾何知識(shí)于一體的綜合題，要求學(xué)生熟悉初中的知識(shí)體系的前提下能整體把握試題，洞悉問題的本質(zhì)。于是，分類討論在其中就起著十分重要的作用。

例4 （2015年蘇州27）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+（1-m）x-m（其中0

（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求P點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q（與原點(diǎn)O不重合），使得以Q、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：（1）（2）略。（3）在（2）的基礎(chǔ)上得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1+m2，1-m2。先判斷出△PAC是等腰直角三角形，因?yàn)橐訯、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似，所以△QBC是等腰直角三角形。 由題意知滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，0）或（0，m）。于是分兩種情況來解答：①如圖①，當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-m，0）時(shí)，（1）若PQ與x軸垂直，則-1+m2=-m，解得m=13，PQ=13。（2）若PQ與x軸不垂直，則PQ2=PE2+EQ2=1-m22+-1+m2+m2=52m2-2m+12=52m-252+110。

∵0

此題的解答在于分析出點(diǎn)Q可在x軸和y軸上兩種情形，但對(duì)于每種情況下繼續(xù)分為PQ與x軸垂直和PQ與x軸不垂直時(shí)，即使是部分優(yōu)秀學(xué)生也會(huì)遺漏掉PQ與x軸垂直這種情形。因此，問題分析時(shí)需從特殊到一般的思考模式。

這道綜合題涉及幾何背景下的方程，函數(shù)和不等式的綜合運(yùn)用，要想很好地解答，學(xué)生必須要有較強(qiáng)的分析問題的能力，同時(shí)要求學(xué)生的思維層次清晰分明。這就要求我們教師在中考復(fù)習(xí)中，對(duì)于綜合題的教學(xué)要求較高，將最簡(jiǎn)潔、清晰的思路教給學(xué)生，學(xué)會(huì)分析問題的方法，提升數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。

結(jié)束語

分類討論思想的培養(yǎng)與運(yùn)用，對(duì)學(xué)生提升問題分析，把握及解決問題的能力起著極其重要的作用，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)教育，使其有能力將一個(gè)復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單熟悉的問題，讓自身有一種似曾相識(shí)的親切感，輕而易舉地解答，感受數(shù)學(xué)的精妙思維方法作用于生活和學(xué)習(xí)的精彩。