提高數(shù)學(xué)作業(yè)講評(píng)效率的若干做法

袁瑞英

摘要：作業(yè)講評(píng)是日常教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)基本環(huán)節(jié)，在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)“點(diǎn)評(píng)優(yōu)秀解法”“自我反思糾錯(cuò)”“變式思考”“類(lèi)題辨析”等若干做法，提高作業(yè)講評(píng)課的有效性、增加學(xué)生的解題能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué)；作業(yè)講評(píng)；有效性；做法

作業(yè)講評(píng)是日常教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)基本環(huán)節(jié)，其目的在于糾正錯(cuò)誤、鞏固知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、提高解題能力、培養(yǎng)思維能力、開(kāi)闊解題思路、開(kāi)發(fā)創(chuàng)新能力等，是數(shù)學(xué)教師必須掌握的基本功之一。目前作業(yè)講評(píng)往往是教師講得口干舌燥，卻收效甚微，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)仍處于一種淺層階段，無(wú)法留下深刻的印象。因此，提高作業(yè)講評(píng)效率是值得研究的課題之一，下面談?wù)劰P者在實(shí)踐中的一些做法，以此拋磚引玉。

一、 點(diǎn)評(píng)優(yōu)秀解法，激發(fā)學(xué)習(xí)積極性

對(duì)于一道數(shù)學(xué)題目來(lái)說(shuō)，從不同的角度審視、從不同的方位思考往往有多種解法。教師在平時(shí)批改作業(yè)時(shí)是深有感觸的。因此，在講評(píng)作業(yè)時(shí)點(diǎn)評(píng)優(yōu)秀解法，即創(chuàng)新的解法，對(duì)學(xué)生而言，既肯定了自己的解題成果，又可以向其他同學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而獲取簡(jiǎn)潔明快、奇思妙想的解法的好機(jī)會(huì)，這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力，又創(chuàng)造出一種群策群力、集思廣益、合力攻關(guān)的理想課堂氣氛。

例1當(dāng)m 是實(shí)數(shù)時(shí)，求關(guān)于x 的方程f（x）=x2+（2m+1）x+m2-1=0的最大實(shí)數(shù)解。

全班45人，解答結(jié)果：優(yōu)秀解法8人，常規(guī)解法27 人，完全錯(cuò)誤10 人。

常規(guī)解法思路：先利用求根公式求出實(shí)根x，再求其最大值，過(guò)程如下：

因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ=（2m+1）2-4（m2-1）≥0，即m≥-54，又由求根公式得x=-（2m+1）±4m+52，令t=4m+5（t≥0），則x=-14t2+12t+34，所以當(dāng)t=1時(shí)，x最大值為1。

而8位同學(xué)的優(yōu)秀解法，是把主元變量x與參數(shù)變量m進(jìn)行“換位”思考，通過(guò)變換角度，即將m 看成未知數(shù)，把x看做參數(shù)，解答過(guò)程如下：

原方程可變?yōu)閙2+2xm+x2+x-1=0，因?yàn)閙 為實(shí)數(shù)，所以Δ=（2x）2-4（x2+x-1）≥0，即x≤1，故所求x最大實(shí)根為1。

兩種解法對(duì)比，哪種更優(yōu)秀、更簡(jiǎn)潔明快，一目了然，在大家敬佩的目光下，優(yōu)秀同學(xué)興奮不已，更加促進(jìn)了其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和動(dòng)力，也幫助其他同學(xué)提高了審題、解題的能力，擺脫了計(jì)算繁雜的困擾。

二、 自我反思糾錯(cuò)，強(qiáng)調(diào)鞏固性

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的錯(cuò)誤絕對(duì)不能單靠教師在課堂上正面的示范和課后通過(guò)學(xué)生反復(fù)的練習(xí)來(lái)糾錯(cuò)，必須要讓學(xué)生先有一個(gè)自我反思、自我發(fā)現(xiàn)、自我否定、自我訂正的過(guò)程。教師在作業(yè)講評(píng)時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤情況，善于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、自我糾正錯(cuò)誤的過(guò)程，才能提高作業(yè)講評(píng)的有效性。

例2已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1，且A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

不少學(xué)生在作業(yè)中這樣解答：因?yàn)锳∪B=A，所以BA，故有m+1≥-22m-1≤5，求得-3≤m≤3。

教師在講評(píng)作業(yè)的課堂上，千萬(wàn)不要在第一時(shí)間指出學(xué)生的錯(cuò)誤之處，一定要引導(dǎo)學(xué)生先有一個(gè)自我發(fā)現(xiàn)、自我否定、自我訂正的過(guò)程，如本例m取特殊值m=-4時(shí)，B=顯然也滿足BA，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)m+1>2m-1即B=時(shí)也滿足條件BA。于是得到正確解答：

①當(dāng)B=時(shí)，有m+1>2m-1，即m<2。

②當(dāng)B≠時(shí)，有m+1≤2m-1-2≤m+12m-1≤5，得2≤m≤3。

綜上得m的取值范圍是（-∞，3]。

然后由學(xué)生反思總結(jié)：當(dāng)BA時(shí)，別忘了B=這一特殊情況。

像這樣讓學(xué)生主動(dòng)參與糾錯(cuò)過(guò)程，使其明白錯(cuò)誤之處、錯(cuò)誤之因及解決錯(cuò)誤的辦法，有利于深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固。

三、 變式思考，注重延展性

在新課程教學(xué)理念下，教學(xué)需要?jiǎng)?chuàng)新，其中發(fā)散性思維培養(yǎng)是教學(xué)創(chuàng)新重要活動(dòng)之一，變式思考就是一種思維發(fā)散性，變則通，不變則廢，沒(méi)有變式思考訓(xùn)練，學(xué)生的思維能力就很難從一個(gè)水平提高到更高層次的水平。因此，教師講評(píng)作業(yè)時(shí)千萬(wàn)不能就題論題，僅滿足于如何獲得正確的答案，更要注意對(duì)問(wèn)題進(jìn)行引申變式思考，并在引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，“以靜制動(dòng)，動(dòng)中窺靜” 從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，并在學(xué)生變式思考過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)發(fā)散性思維能力。

例3《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)2必修2人民教育出版社A版》第101頁(yè)第11題：一條光線從點(diǎn)P（6，4）射出，與x軸相交于Q（2，0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的方程。

解法思路：抓住物理知識(shí)點(diǎn)：入射角=反射角，得已知點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在反射光線所在直線上可解。

教師作業(yè)講評(píng)不能就此結(jié)束，若能將其條件改變得以下問(wèn)題讓學(xué)生思考，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

變式1已知光線所在直線的方程為x-y+5=0，且該光線從點(diǎn)P（-2，3）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q，經(jīng)x軸反射，求反射光線所在直線方程。

變式2光線從點(diǎn)M（-2，3）射出，與x軸相交于點(diǎn)P，經(jīng)x軸反射，且反射光線所在直線與拋物線y=-x2相切，求反射光線所在直線的方程。

反思總結(jié)：原題條件給出射到x軸上一點(diǎn)P（1，0），而變式1將此條件換為入射光線所在直線方程，變式2又將變式1給出入射光線所在直線方程換為反射光線所在直線與拋物線y=-x2相切。這不僅是一種創(chuàng)新，在思維層面較變式1又有質(zhì)的飛躍：由變式1的求入射光線所在直線與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)而解決問(wèn)題，變?yōu)閼?yīng)用導(dǎo)數(shù)和直線方程的知識(shí)求解。它們雖然題型有所不同，但有共同解決的方法：即抓住反射光線所在直線過(guò)已知點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′以及切點(diǎn)Q，所以，只要據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及斜率的坐標(biāo)公式求出切點(diǎn)Q的坐標(biāo)則可解。endprint

以上通過(guò)問(wèn)題的變式與拓展，“通法、通解”的探究，幫助了學(xué)生形成思維的正向定勢(shì)，提高了作業(yè)講評(píng)的延伸性，也有效地促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

四、 類(lèi)題剖析，揭示本質(zhì)特性

分析出錯(cuò)原因，并挖掘出題目本質(zhì)，從中探求一般的解題規(guī)律是講評(píng)錯(cuò)解課的主要任務(wù)。所以在作業(yè)講評(píng)課上，盡量設(shè)置容易混淆的一些題目讓學(xué)生來(lái)共同思考探究，是剖析錯(cuò)誤、提升解題能力的一個(gè)有力手段。利用“形同似異”的題組進(jìn)行作業(yè)講評(píng)，有利于揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)特性，提高學(xué)生的領(lǐng)悟能力。

例4已知函數(shù)f（x）=lg（x2+3x+1），g（x）=12x-m。

（1）若對(duì)x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（2）若對(duì)x2∈[1，2]，x1∈[0，3]，都有f（x1）>g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（3）若對(duì)x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，都有f（x1）>g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（4） 若對(duì)x∈[1，2]，都有f（x）>g（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

通過(guò)這三道類(lèi)題的比較與剖析，引導(dǎo)學(xué)生探究分析致錯(cuò)原因，反思并總結(jié)如下。

反思1：上面四題的共性是什么？（都是已知x1、x2的取值范圍，求實(shí)數(shù)m的取值，可化歸為f（x1）、g（x2）最值問(wèn)題）；區(qū)別是什么？（大前提條件是“任意”還是“存在”）

反思2：根據(jù)大前提條件是“任意”還是“存在”，正確確定f（x1）、g（x2）取最大值還是最小值問(wèn)題，也可以采用分離變量法或數(shù)形結(jié)合求解。

如此的講評(píng)作業(yè)課堂的做法，不僅可以讓學(xué)生知道該如何解決問(wèn)題，而且還知道思路來(lái)龍去脈，為什么要這樣思考。這樣讓學(xué)生先通過(guò)自己分析并反思已解決過(guò)的數(shù)學(xué)題，從而去真正領(lǐng)悟解題數(shù)學(xué)的思想，并通過(guò)應(yīng)用解題數(shù)學(xué)思想去駕馭并靈活運(yùn)用知識(shí)與方法，從而達(dá)到增強(qiáng)分析解題的能力，提高思維領(lǐng)悟水平，使講評(píng)作業(yè)課真正走向?qū)嵭В挥羞@樣解題正確率才會(huì)大大提高。

總之，教師在講評(píng)作業(yè)題目之前，既要從學(xué)生做題的角度去揣摩習(xí)題，還要從教師自己做題的角度去思考習(xí)題，更要以命題者的角度去審視習(xí)題，只要這樣，才能最大限度地挖掘習(xí)題的各種潛能，提高習(xí)題講評(píng)的效率。

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