數學教學：在“實踐”與“內化”間穿行

劉琴

摘 要：“具身認知”理論視野下的數學教學是學生“動手實踐”與“活動內化”相互促進、和諧圓融、共生共長的過程。在數學教學中，教師要引領學生在“實踐”與“內化”之間穿行。運用“實踐”事實，可以促進學生數學“內化”的轉變；開拓“內化”空間，可以提升學生數學“實踐”的效能；形成“共生”取向，可以優化學生“實踐”“內化”的品質。

關鍵詞：數學教學；動手實踐；活動內化；做思共生

“人有兩個寶，雙手和大腦，雙手會做工，大腦會思考。用手又用腦，才能有創造。”這是人民教育家陶行知先生著名的《手腦相長歌》。陶行知先生在一生的教育實踐中，始終踐行“教學做合一”。農村小學數學教學承擔著數學啟蒙的重要使命，以培育學生數學核心素養為旨歸。將學生數學課堂學習中的“動手實踐”與“活動內化”有機結合，無論是作為學生的認知方式，還是作為數學課程與教學改革的試驗田，都與當下“具身認知”理論相契合。“具身認知”既強調學生的動手實踐，又強調學生的活動內化。換言之，對于學生學習來說，既離不開合理地“做”，又離不開數學地“思”，“做思共生”是提升學生數學核心素養的應然選擇。

一、運用“實踐”的事實，促進學生數學“內化”的轉變

瑞士著名教育心理學家、結構主義哲學的肇始者皮亞杰曾經這樣說，“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展”。在小學階段，學生的動手操作、數學實踐對于學生數學學習來說具有奠基性作用，因為這期間的學生處于從“直觀動作”向“具體形象”思維過渡的年齡、心理階段。針對這個階段兒童的認知心理，皮亞杰說“動作是產生意義的基礎，是兒童獲得理解的唯一手段”。

學生的動手實踐是學生數學思維的外顯，因此，教師要給予學生動手操作、實踐的自由，賦予學生動手操作、實踐的時空，運用學生動手操作、實踐的事實，促進學生數學內化的轉變。事實上，學生能夠提出有價值、有意義的數學猜想，往往是基于學生經驗的認知，如果學生經驗缺失，那么學生是很難提出有價值的數學猜想的。操作、實踐的過程就是積累學生數學學習表象的過程，就是學生認知感受、體驗的過程。

例如教學蘇教版小學數學教材第8冊的“三角形的三邊關系”，筆者在教學伊始向學生提出這樣的問題：現在我給你三根小棒，你能圍成一個三角形嗎？學生興高采烈地回答：“能！”接著，筆者向學生提供了一組結構性素材：①組：5厘米、5厘米、5厘米；②組：3厘米、4厘米、5厘米；③組：2厘米、3厘米、6厘米；④組：3厘米、3厘米、6厘米。學生分小組展開數學實驗、操作。他們驚訝地發現，第③組、第④組的三根小棒不能圍成三角形。學生先前的迷思概念、相異構想被數學操作、實踐事實所打破，由此誕生出新問題：既然并不是任意三根小棒都能圍成三角形，那么，怎樣的三根小棒才能圍成三角形呢？在實踐事實前，學生開始思考三根小棒長度之間的關系。他們發現，第③組的三根小棒之所以圍不成三角形，是因為2厘米的小棒和3厘米的小棒合起來還沒有6厘米；第④組的三根小棒之所以圍不成三角形，是因為3厘米和3厘米的小棒合起來等于6厘米，并不能“拱”起來。圍繞著“拱”這個關鍵詞，筆者引導學生從三個方面展開思考：其一，三角形三條邊中每兩條邊都要“拱”起來，必須滿足怎樣的條件？其二，聯系“兩點之間，線段最短”，你認為三角形三邊的關系可以怎樣概括？其三，給你一根小棒將其分成三段，最長的一段應該從哪里剪？由此，將三角形三邊關系的探討、交流引向深入。

誠然，像“三角形三邊關系”這樣的問題，學生通過操作可能還會對某些問題產生爭論、形成意見分歧。如當兩根小棒的長度和等于第三根小棒的時候，由于小棒本身的厚度、寬度，有學生也認為可以圍成三角形。但如果沒有學生的實踐、操作，僅靠多媒體演示或者借助“兩點之間線段最短”來進行思辨，學生獲得的感受、體驗必定是膚淺的。“聽到的過眼煙云，看到的銘記在心，做過的淪肌浹髓”，只有基于學生實踐基礎上的內化才更有實際、更具建構和生成的意義。

二、開拓“內化”的空間，提升學生數學“實踐”的效能

“工欲善其事，必先利其器”，在數學教學中，“內化”是學生實踐的目的與保障。如果學生的數學實踐缺乏內化，那么，這樣的實踐、操作只是一種盲動。漫無目的地做還不如不做。如果學生能夠做到“想好了再做”“想明白了再做”“方案設計好了再做”，這樣內化空間得到開拓，無疑將會提升學生數學實踐的效能。因此，在學生數學學習過程中，教師要根據學習內容和學生認知特質，引導學生深度思考，比如應該如何設計數學實驗的方案，數學操作需要哪些材料，數學實驗過程中需要控制哪些變量等。

教學蘇教版小學數學教材第12冊“圓錐的體積”時，在學生動手操作展開數學實驗前，筆者分三個層次引導學生展開直覺思考，開拓學生內化空間。

一是向學生出示長方體、正方體和圓柱體，引導學生思考：我們應該將圓錐的體積轉化成什么幾何形體的體積？學生紛紛認為，應該轉化成圓柱的體積，因為只有圓柱和圓錐的底面都是圓形的。

二是向學生提供了四種規格的圓柱和圓錐：一是等底不等高的圓柱和圓錐；二是等高不等底的圓柱和圓錐；三是等底等高的圓柱和圓錐；四是不等底不等高的圓柱和圓錐。孩子們依據數學直覺，認為應該采用等底等高的圓柱和圓錐，因為這樣實驗可能更利于發現它們之間的關系。從科學上講，運用等底等高的圓柱和圓錐進行數學實驗，其底、高等數學實驗中的變量都變成了常量，因此這樣的選擇有助于提升學生數學實驗的效能。

三是向學生提供了這些數學實驗素材，如黃豆、沙子、水等。學生認為應該選用水這種實驗素材，因為他們直觀地看到，黃豆之間的空隙較大，可能做起實驗來誤差大；沙子之間盡管空隙比較小，但還是存在著我們肉眼所能看到的縫隙，因此毫無疑問也存在一定的誤差；水的空隙非常小，我們的肉眼看不到水的縫隙，因此，學生紛紛選擇水這種實驗素材。

學生在數學實驗前以“思”作為先導，明確了應該做什么和怎樣做之后，再動手實踐，這樣的實踐更具目的性、方向性、針對性和實效性。教學中，教師只有調動了學生的心智，學生才能更深刻地體悟到數學實驗素材與實驗現象之間的內在關聯。否則，學生可能由于對數學實踐過程中素材的結構、關聯以及對實驗結果的影響等缺乏關注，導致學生之間產生一些不必要的、非數學的爭論，甚至有可能將學生的數學實踐帶入一種無序、失范、混亂的境地。endprint

學生數學內化空間的拓展，得益于學生數學實踐前的“思”。長此以往，這種“思”能夠逐步培養起學生“數學地思維”的能力，能夠引導學生用“數學的眼光”看問題，用“數學的大腦”思考、分析問題和用數學的方式解決問題等能力。

三、形成“共生”的取向，優化學生“實踐”“內化”的品質

“共生”是生物學中的一個術語。所謂“共生”，是指生物之間相互依存的關系。在數學實踐和內化過程中，援引“共生”這一術語，其目的是讓學生的實踐與內化活動相互支撐、相互融通起來。腦科學研究表明，只有當人腦左右兩個半球同時被激活，學生的效率才能大大提升。實踐與內化在學生的心理建構活動中往往是相互交織在一起的，實踐是內化的支撐和證明，內化是實踐的內在指向和引領，實踐和內化在學生的數學學習活動中是互為表里、相互促進的。學生的數學學習往往始于手腦，現于身心，成于共生。正是在這個意義上，有專家認為，學生必須“用手思考，用腦操作”。

例如教學蘇教版小學數學教材第5冊“兩位數除以一位數”，筆者首先出示46÷2，學生借助小棒展開了實物操作。筆者發現，有學生先將零頭6根小棒平均分成2份，再將4捆小棒平均分成2份；也有學生先將4捆小棒平均分成2份，再將零頭6根平均分成2份。通過實踐操作，學生都能得到結果。接著筆者出示38÷2，有學生還是從十位開始分，結果每份1捆，還剩1捆，學生將這一捆打開，和零頭8根合起來變成了18根，平均分成2份，每份是9根，合起來是19；也有學生還是從個位開始分，將8平均分成2份后，學生發現3捆不能平均分成2份了，這時學生通過“內部言語”體驗到“先分十位”更合理、更方便，于是他們主動調整分的策略，將1捆和8根合起來，然后繼續平均分。最后筆者出示了72÷4，學生發現，個位上的2不能平均分成4份，他們試圖從十位上借1捆來，但是借后發現，雖然個位已經能夠平均分了，但十位上的7捆借走了1捆還剩6捆，卻不能平均分成4份。于是這部分學生自覺地調整平均分的策略，開始從高位分起。在這個過程中，學生邊實踐、邊思考、邊內化，最終演繹生成出“兩位數除以一位數”的算法，建構出 “豎式計算”的模型。

實踐與內化的有機融合，讓學生真正做到了“做”中有“思”、“思”中有做，做思共存、做思共生。“做”是指尖的思維，“思”是頭腦的操作，“做”與“思”是兒童數學學習中不可或缺的“兩件寶”。學生在這樣的數學學習實踐內化過程中，大腦的左右兩個半球被同時激活，他們健康用腦、和諧用腦、友善用腦，極大地優化了數學學習的品質。

學生數學學習的過程是動手實踐與活動內化結伴而行的過程，實踐為內化提供了“外援幫助”，內化為實踐提供了“內源支撐”。教學中，教師要展開適切地導引，讓學生在實踐中內化、在內化中實踐，促成動手實踐與活動內化的動態平衡，進而打造高效靈動的數學課堂，提升學生的數學核心素養！endprint