數學課題學習中核心素養的培養

楊一麗+孔懿娜

摘 要：課題學習追求的目標不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過數學學習活動獲得數學素養的提升.課堂是培養核心素養的主陣地，合理的素材是落實核心素養的前提，適切的問題是培養核心素養的關鍵，科學的評價是培養核心素養的保障.

關鍵詞：課題學習；核心素養；學習能力；探究活動

作為初中數學四大板塊內容之一的課題學習，目的是讓學生經過自主探索和合作交流，解決一些具有挑戰性和綜合性的問題，使得數學教學過程成為一個課題研究的過程.因此，課題學習追求的目標不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過數學學習活動獲得創造性活動的經驗，學會數學的思維，掌握數學思想方法，提升數學素養.這與我國目前基礎教育的新熱點——核心素養的要求極其吻合.

課堂是培養核心素養的主陣地. 筆者對課題學習“格點多邊形的面積計算”一課進行二度教學實踐，兩次實踐都引起了教師們廣泛的討論和持續的關注.現以修正后的這節課為例，談談對這節課的教學分析與思考，希望能對讀者有所啟發.

一、教材分析

（一）教學目標分析

理解格點多邊形的定義，掌握求格點多邊形面積的一般方法；學生通過畫圖、列表、分析數據、尋找規律，發現并驗證皮克定理；通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，了解解決問題的過程和方法，體驗“在解決多變量問題中采用變量逐步控制”的科學思維方法；同時培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等數學核心素養.

（二）教學內容分析

本節課主要探索多邊形面積計算公式（皮克定理），該公式在數學學科及實際生活中有著廣泛的應用.本節課中計算不規則多邊形面積是推導公式的關鍵步驟，是應用轉化思想，將不規則圖形轉化為規則圖形來計算；同時又為后續學習數學歸納法、體會類比思想奠定了良好的基礎.因此本節課是培養學生數學學習能力、提升數學核心素養的良好素材.

二、教學實踐

（一）畫圖操作 喚醒學生的探究意識

教師：（幻燈片展示從生活中抽象出的幾何圖形）在日常生活中我們經常會遇到需要計算這些不規則圖形的面積，你知道怎么來求這些不規則圖形的面積呢？

學生1：可以將不規則圖形轉化為規則圖形來計算.

教師：在小學里我們已經接觸過將不規則圖形轉化為規則圖形來計算面積，但這樣往往會受到具體條件的限制，為了更好地解決這一類問題，今天這節課我們把圖形放到格點多邊形中來探索求解面積的方法.

教師：如果一個多邊形的頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上，那么這樣的多邊形稱為格點多邊形.PPT展示格點多邊形的概念）

教師：你會求圖1中的格點多邊形的面積嗎？請試一試.

學生：先求出長、寬（或底與高）后再用面積計算公式計算.

教師：怎么求長、寬（或底與高）？

學生：觀察格點多邊形上的格點數就可以知道格子數目，從而求出長、寬（或底與高）了.

教師：回答得很好！事實上，長、寬與格點多邊形內的格點數和邊界上的格點數均有關.

教師：那如何來求圖2的面積呢？

學生：分割或補形成規則圖形.

教師根據學生的回答展示主要的割補方案（見圖3）.

說明：設置環環相扣的問題，引領學生的思維進入有序思考的狀態，同時讓學生體會到“學習的內容源于解決問題的需要”，激發學習的內驅力.在求解長、寬（或底與高）的過程中，培養學生直觀想象的數學素養和轉化的數學思想.

（二）探究活動 促進學生核心素養的根植

教師：結合剛才求格點多邊形的面積的方法，接下來我們一起來探究格點多邊形的面積與其覆蓋的格點數究竟具有怎樣的關系呢？

【探究】設格點多邊形的面積為S，多邊形內部的格點數為[a]，邊界上的格點數為[b]，請寫出圖4中格點多邊形的[a，b]的值.

操作1：請同學在網格紙上畫出與圖4的[a，b]的值對應相等但又不同于圖4的三個格點多邊形.（此環節教師用投影儀展示學生作品，學生評析，教師修正）

操作2：請同學在網格紙上畫出3個滿足條件[a=0]的格點多邊形，圖形序號分別用①②③標志，并分別求出它們的面積S.

活動一 探究[a=0]的格點多邊形中S與[b]之間的關系.

教師：當[a=0]時，格點多邊形中的S，[b]之間存在一個什么樣的關系，你能表示出來嗎？

（為了幫助學生發現規律，教師引導學生填好圖5的表格，啟發學生嘗試應用函數圖象分析）

學生（部分）：能.（這時有部分學生在坐標系中描出對應點并連線分析趨勢，見圖6）

教師：能說說具體解決方法嗎？

學生：因為顯示的圖象是直線，所以應用點的坐標帶入來求解.

學生：可以設[S=mb+n]，將兩個點的坐標[（b，S）]代入，解一個關于[m，n]的二元一次方程組，得到[S=12b-1].

說明：此環節啟發學生探究[a=0]的情況下S與[b]之間的關系，為得到一般情況下面積公式設置階梯，并讓學生初步體會解決多變量問題時采用變量逐步控制的方法；另一方面，學生在觀察、實驗、猜想、計算和驗證的過程中，促進數學運算、邏輯推理核心素養的培養.

（隨后，教師分別呈現如圖7中的三幅圖，讓學生繼續進行探究）

活動二 探究[a]=1時的格點多邊形中S與[b]之間的關系.

活動三 探究[a=2]時格點多邊形中[S與b]之間的關系.

活動四 探究[a=3]時格點多邊形中[S與b]之間的關系.

（三個活動，學生根據活動一積累的經驗，不難求出[a=1]時，[S=12b+0]；[a=2]時 ，[S=12b+1]；[a=3]時，[S=12b+2]）endprint

說明：設置[a]=1，2，3的情況下，推導S與[b]的關系，意在先控制變量[a]，把它賦成常數，得出S與[b]的關系；另一方面，學生經過計算、猜想逐步向結論靠近的過程中，體現了數學運算、類比推理等數學素養的發展.

（三）猜想規律 激發學生的創新意識

教師：如果[b=0]，請同學們猜想S與[a]應該是怎樣的關系？

學生：[S]是關于[a]為一次函數，圖象上體現為一條直線.

教師：那么在一般情況時，請同學們猜想S與[a]，[b]應該是怎樣的關系？（引導學生觀察表格中的數據和S與[b]的關系式進行思考）

學生：一次函數關系.

教師：同學的回答有道理但不科學，在數學上我們稱S與[a]，[b]具有線性關系，所以 [可設S=ma+nb+c]，請同學們求出[m，n，c]的值.

學生：根據前面的環節可得[c=-1，]由表格中的數據通過解方程組可得[m=1，n=12].

教師： [S=a+12b-1]，這就是著名的皮克公式.（PPT展示皮克定理相關資料）

說明：本環節讓學生經歷由特殊到一般及由歸納獲得的猜想，再結合具體的數據通過解方程組獲得結論.在思維的碰撞中提升對歸納猜想、合情推理的本質的認識；在猜想、計算和建模的過程中，促進數學建模、數學運算、邏輯推理的數學核心素養的培養.

（四）驗證規律 培養學生的理性精神

教師：至此，我們通過討論格點多邊形內部及邊界上的格點數推出了格點多邊形的面積公式，這個公式是否具有一般性，你如何驗證這個結論？

學生：可以通過畫一般的格點多邊形來驗證.（學生開始嘗試畫圖驗證）

這時教師通過幾何畫板引導學生進行驗證，并讓學生上臺演示.學生拖動格點多邊形的一個頂點，使得多邊形內部的格點數[a]不變，S隨著邊界點[b]的個數變化而變化；再控制邊界點格點數[b]不變，S隨著多邊形內部的格點數[a]的變化而變化.當[a=4，5]時，分別驗證了[S=a+12b-1]正確.

教師：剛才是一個驗證的過程，并不是證明的過程.奧地利數學家皮克證明了格點多邊形的面積公式，所以這個公式叫作皮克定理.如果有興趣，請同學課外可查找皮克定理的證明資料，并和你探索的結果作比較.

說明：本環節讓學生明白驗證與證明的區別，事實上數學定理要經過嚴謹的數學證明才行，而要說明結論錯誤只需舉出反例，培養學生養成良好的數學思考習慣和驗證猜想的能力及科學理性的精神.

（五）學以致用 內化學生的核心素養

①請同桌合作用兩種方法計算圖8中多邊形的面積.

②請你計算圖9中格點△FGH的面積.并求△FGH的邊GF上的高.

說明：第①題既是皮克公式的應用，也驗證了皮克公式可應用于凹多邊形. 第②題是中考原題，若直接求△FGH的邊GF上的高會較煩瑣.若應用皮克公式，再利用△GFH的面積即可得h=[95][10].習題的設置意在培養學生應用所學知識解決問題，通過問題的解決促進核心素養的內化和根植.

三、思考

（一）合理的素材是培養核心素養的前提

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的.”這說明了教學中合理取材的重要性.那么，怎樣的素材才是合理的？筆者以為，首先要看該素材是否在學生認知領域內，適合學生進行數學化的活動， 再者探究活動是否能體現數學核心素養，從而真正地成為研究問題的載體.課題學習一般是選取可以深入探究的問題建立數學模型，通過學生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動使問題得以解決，并進行深度挖掘.在本節案例中，以“皮克公式的推導”為核心，在解決多變量問題時采用變量逐步控制的方法進行探究，不僅內容新穎富有挑戰性，而且符合學生認知特點，這樣的數學素材與活動使得學生有了探究的基礎和條件，使學生自然將新的知識內化到已有的認知結構中.

（二）適切的問題是培養核心素養的關鍵

問題是探究的核心，是培養核心素養的關鍵.如何科學地設計問題至關重要.筆者以為，首先要使設計的問題適合學生認知水平，能揭示教材和學習活動中的實質矛盾，難易適度，為在教學過程中落實數學核心素養創造基本條件.在本節案例中，問題鏈的設置從[a=0]時探究格點多邊形的S與[b]的關系， 再深入到[a=1，2，3]時，探究格點多邊形S與[b]的關系，始終圍繞著“皮克定理的推導”展開.根據設計的系列化問題，引導學生通過觀察、畫圖、計算、猜想、驗證等手段逐步逼近本質，既解決了問題又在問題解決的過程中促進了學生數學核心素養的培養.

（三）科學的評價是培養核心素養的保障

長期以來，學校、社會過于關注終結性評價，教學成了以“結果制約過程”為特征的教學.在核心素養成為我國基礎教育新熱點的形勢下，從教學目標、教學內容、教學實施到教學評價都應有科學的措施.特別是對核心素養發展水平的評價，不可僅依靠測試學生對知識與技能的掌握程度來體現，要表現出對各種能力和綜合品格的重視，如思維能力、創新能力、學習能力、合作能力等.因此，課堂教學中的評價，更多的功能是“改進”和“表現”，不宜過多強調評價的甄別功能，通過過程性的評價來保障學科核心素養的落地.作為學業測試的評價部分，紙筆評價的內容也應聚焦于學生的核心素養，包括關注學生學習能力、鉆研精神及學生在學習過程中的科學態度和理性精神等，從評價環節來引導核心素養的培養.[□][◢]endprint