數學表達：學生數學核心素養發展的實踐范式

席愛勇

摘要：數學表達是學生數學核心素養發展的重要的實踐范式。數學表達可以改善學生的數學學習生態、教師的數學教學生態、課堂的教學相長生態和課程的動態發展生態，通過動作表達、口語表達和書面表達，幫助學生不斷建構對數學知識的理解，強化數學技能的掌握，呈現數學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程以及數學問題解決的思路方案，讓學生的數學核心素養落地生根。

關鍵詞：數學表達；實踐范式；數學核心素養

中圖分類號：623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）11B-0020-04

當前，數學教育已聚焦于發展學生數學核心素養，讓學生逐步學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界。如何讓這樣的數學教育目標落地生根，已成為一線教師思考和探索的熱門話題。在教學實踐中，筆者嘗試以數學表達為突破口，著力于探索發展學生數學核心素養的實踐范式。

一、數學表達的內涵和價值

所謂數學表達，就是用動作、口語或書面（圖像、符號、文字等）的形式描述展示數學知識技能、思維過程、思想方法、問題解決等的一種行為。數學表達以數學交流和傳播為目的，以數量關系和空間形式為內容，以數學語言（圖像語言、符號語言、文字語言）為工具，以動作、口語、神情或書寫為媒介。

數學表達是學生數學學習的重要環節。通過數學表達，可以幫助學生不斷建構數學知識的理解，強化數學技能的掌握，呈現數學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程以及數學問題解決的思路方案，是聚焦學生數學核心素養發展的有效實踐范式。

數學表達，可以改善學生的數學學習生態，讓學生從被動的聽講、做題、訂正、大量做題，到主動的觀察、操作、思維、表達、交流與反思，把數學學習從知識技能訓練上升到數學文化交流的層面。這個過程有助于學生自我反思、自我完善、自我評價和自我提升，在比較輕松的環境氛圍中深刻理解數學知識，靈活掌握數學技能，不斷提升數學思維能力和品質，提高數學表達和交流能力。

數學表達，可以改善教師的數學教學生態，讓教師從繁重瑣碎的講解、練習、批改和輔導中解脫出來，更具智慧地傾聽、點撥、激勵和指導，真正地以學生為主體。這個過程有助于教師更多地從學生視角思考教學，及時把握學生的思維狀態、生成狀態，及時了解學生，讀懂學生，研究學生，及時采取有效措施進行有針對性的教學，錘煉更靈活的動態調整和即時應答的教學智慧，有利于促進學生數學核心素養的更好發展。

數學表達，可以改善課堂的教學相長生態。數學課堂是師生積極參與、交往互動、共同發展的教學相長的重要載體，通過重建“數學問題情境—個體嘗試性表達—集體完善性表達—實踐應用性表達—總結拓展性表達”的數學表達課堂，可以讓數學課堂更具智慧生成性和互動發展性。

數學表達，可以改善課程的動態發展生態，讓數學課程從國家規定、教材編定、師生執行的固定不變狀態，變成師生共同開發、不斷進行資源整合的多元化動態發展狀態，為促進學生數學核心素養的發展搭建更有利的平臺。

二、數學表達的實踐策略

（一）動作表達：在直觀中發展學生的數學核心素養

動作表達，可以通過運動、動手操作或數學實驗，積累感性經驗，發展學生直觀想象能力，融通感性和理性的通道，達到認識和理解數學的目的，讓學生有一種豁然開朗的感覺。

1.動作演示，直觀認識數學

在數學教學中，教師可以有意識地將數學書面表達的內容轉換成動作表達，轉換成生動有趣的動作表演或演示，讓學生在積極體驗中認識和理解數學。

例如在《平移和旋轉》的教學中，學生在觀察生活中的平移和旋轉現象后不僅要學會用口語來描述，還應該學會用手勢來表達平移和旋轉現象。在《認識方向》的教學中，筆者讓學生來到學校操場，站立，面向早晨冉冉升起的太陽，一邊做動作操一邊說：“前面是東，后面是西，左面是北，右面是南。”然后隨意變換方向，讓學生繼續邊做動作操邊說。學生在輕松愉悅的自編自做的動作操中認識了生活中的東南西北，理解了東南西北方向的穩定性和前后左右的相對性。

2.數學實驗，直觀理解數學

學生受認知水平的限制，在一定年齡階段很難從理性上深刻認識和理解某些數學知識，通過數學實驗，從感性層面讓學生進行直觀的認識和理解可能會更好。例如，讓小學六年級學生從理性層面理解“在周長一定的情況下，圓的面積最大”比較困難，這時就可以做一個數學實驗。讓學生用同一根繩子先后圍成一個三角形、一個長方形、一個正方形、一個五邊形、一個六邊形、一個圓形，學生一邊圍一邊觀察，就會直觀感受到圍的面積越來越大，圍成圓后，再也無法圍成面積更大的圖形了，較輕松地理解了“在周長一定的情況下，圓的面積最大。”再如，利用天平做數學實驗可以讓學生直觀理解1千克鐵和1千克棉花一樣重。在天平左邊放1千克鐵，在天平右邊放1千克棉花，觀察天平是否仍然保持平衡。類似的，還可以利用天平做數學實驗，引領學生直觀理解等式的性質，天平平衡后在兩邊加入或拿走同樣重的砝碼，觀察天平是否仍然保持平衡，從而直觀理解等式的性質：在等式的兩邊同時加上或減去同一個數，結果仍然是等式。

（二）口語表達：在言說中發展學生的數學核心素養

讓學生講給別人聽，往往比聽別人講更高效，學生能言說到什么程度，常常說明了他們的理解程度。因此，讓學生用口語來表達對數學的認識和理解，是重要的數學學習方法和策略。

1.動作口語化表達

在《軸對稱圖形》的教學中，筆者讓學生先觀察生活中的對稱現象，折線兩邊一模一樣，然后把軸對稱圖形進行對折，在動手操作中發現折線兩邊都能完全重合。這時，最好讓學生用口語把操作過程表達出來：“通過對折，折線兩邊能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形。”

2.圖像口語化表達endprint

在《認識方程》的教學中，筆者讓學生看圖1進行說話，把每一幅圖的意思用口語表達出來：第1幅圖表示在天平的左邊放了x克正方體木塊和50克砝碼，在天平的右邊放了100克砝碼，發現天平向左邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼重。第二幅圖表示把天平右邊的100克砝碼換成200克砝碼，結果發現天平向右邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼輕。第三幅圖表示把天平右邊的200克砝碼換成100克砝碼和50克砝碼，結果發現天平平衡了，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，與右邊150克砝碼一樣重。學生能用口語表達出來下面三幅圖的意思，說明初步看懂并認識了不等式和等式的本質。在此基礎上，教師引導學生分別用式子表示出三幅圖表達的意思，學生就能很快寫出：x+50>100，x+50<200，x+50=150。

3.符號口語化表達

數學教材中很多符號表達式需要通過口語化表達來解讀，才能被更多學生所理解和接受。在數學教學中，教師要適時引導學生對教材中的數學符號表達式進行解讀，讓他們明白蘊含其中的本質內涵。例如，s=vt表示“路程=速度×時間”，還表示“路程一定，速度和時間成反比；速度一定，路程和時間成正比；時間一定，路程和速度成正比。”a+b=b+a表示加法交換律，即“交換兩個加數的位置，和不變。”

（三）書面表達：在表征中發展學生的數學核心素養

教學實踐中，引導學生把生活現象數學化，用圖像、符號或文字表達出來，有助于學生在多元表征中認識、理解和應用數學。

1.圖像表達，在直觀表征中發展學生的數學核心素養

用圖像表達可以把抽象的數學直觀形象化，易于理解和掌握。這里的圖像既可以是實物圖，也可以是示意圖、統計圖、流程圖、網絡結構圖或思維導圖等等。我們可以根據實際需要，靈活選擇合適的表達方式，如算理可以選擇實物圖或示意圖表達。圖2即是用實物圖和計數器兩種圖像表示45+3。

我們還可以選擇網絡結構圖對數學知識實現連點成線，連線成面，連面成體。在這個過程中，學生的數學思維逐步從零散走向聯系，從碎片走向系統，從而打通數學知識的內在聯系，實現系統化建構，便于他們在以后相關的數學學習和生活實踐中靈活提取和綜合應用。

例如，學生學完“三角形”以后，筆者引導他們作一些梳理。圖3可以清晰看出，學生從三角形的角、邊、高三個緯度出發，每一個緯度又可分成“特點、規律、分類、作圖” 等多個方面，多維度、網絡化、立體式建構三角形的知識結構體系。學生以后再學習三角形的相關知識（如初中學習全等三角形和相似三角形、三角函數等）也會自然從這些緯度進行數學思維，不斷充實完善三角形的知識結構體系。同時，學生在遇到三角形方面的實際問題時，也會自然從這些緯度靈活提取相關數學知識，綜合運用相關數學知識分析解決實際問題。可見，圖3不僅僅是三角形知識結構的全面整理，更是學生對三角形全面再認識的數學思維的系統整理。

2.符號表達，在符號表征中發展學生的數學核心素養

數學是一個符號系統，符號既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法。符號的認識和使用貫穿于學生數學學習的始終，學生從認識數學符號開始，經歷表征數學符號的意義和結構，使用數學符號解決數學和生活實際問題，建構數學模型，進行數學思考和表達交流，形成數學符號意識的過程。

用符號表達可以分為三個階段。

第一階段：符號認知階段。具體表現為能認識符號，理解符號所表示的數學含義和結構；能使用符號表示數、數量關系和變化規律，建構數學模型；能解釋符號所表示的數學含義和結構。

義務教育階段，學生需要認識和理解的數學符號主要有：（1）數字符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。（2）字母符號：S（面積）、h（高）、s（路程）、v（速度）t（時間）等等。（3）關系符號：>、<、=、≈、≠、≥、≤、⊥、∥、≌、∽等等。（4）運算符號：+、-、×、÷ 等等。（5）分類符號：（ ）、[ ]、{ }等等。（6）單位符號：km、m、dm、cm、mm、㎡、t、kg、g、℃、%等等。（7）定義符號：∠1、△ABC、∣-3∣、（1，2）等等。

每種數學符號都有它特定的數學含義、使用規則和結構特點，學生首先要逐步認識各種類型的數學符號，理解并能解釋各種數學符號所表示的數學含義，符號與符號之間的內在聯系，符號的使用規則和結構特點，為正確使用符號做好準備。使用符號表示數，這里的數，既可以是某個未知數，也可以是某個區間內的數，還可以是不斷變化的數；用符號表示數量關系和變化規律，可以是代數式、方程、不等式，也可以是數學公式、函數關系式等數學模型。

符號表征不僅表現在能正確認識、理解和使用數學符號，還表現在能正確解釋符號所表示的數學含義和結構。如x在方程中表示未知數，在函數中則表示自變量；（4，6）既可以表示點的坐標，也可以表示求4和6的最大公因數；a+b=b+a表示加法交換律等等。學生要能夠根據數學背景正確解釋符號所表示的數學含義和結構。

第二階段：符號操作階段。具體表現為掌握符號的使用規則和操作程序，使用符號進行形式運算和推理，作出判斷，知道得到的結論具有一般性。如根據等式的性質解方程或進行公式變形等等。使用符號進行數學證明的過程，就是一個推理過程，最簡單的如a>b，b>c，則a>c。

第三階段：符號思維階段。具體表現為能自覺主動、自動化使用符號和表達式進行思考和交流，把符號作為發現和解決問題的工具，用“代數”的眼光看待社會生活現象，進行綜合實踐與創新，形成符號的思維方式和表達交流意識。

3.文字表達，在文字表征中發展學生的數學核心素養

數學要通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象而抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征，形成數學概念、命題、結構和系統。因此，學生能夠科學規范地使用數學術語，表達數與代數、圖形與幾何、概率與統計等領域的數學內容，是數學核心素養高的重要標志。endprint

4.綜合表達，在多元表征中發展學生的數學核心素養

綜合運用圖像、符號、文字進行多元化靈活性的數學表達，有利于幫助學生實現各種表達方式之間的靈活轉換，逐步學會根據實際情況和需要選擇運用合適的表達方式，發展學生開放靈活的綜合性思維。

例如24+18的計算過程可以用三種表征方式，表達如下：

數學表達，從內容層面，聚焦于數學運算、直觀想象和數據分析；從思想層面，聚焦于數學抽象、邏輯推理和數學模型；從文化層面，聚焦于數學作為科學語言的文化交流和推動人類社會發展進步的功能。數學表達，真正讓學生的數學核心素養落地生根。

責任編輯：宣麗華

Abstract： Mathematics expression is an important practical paradigm for the development of students mathematics core accomplishments， and it can improve students learning ecology， teachers teaching ecology， classroom teaching ecology and curriculum dynamic developmental ecology. Action， oral and written expressions can help students constantly construct their understanding of mathematics knowledge and reinforce their mastery of mathematics skills. Meanwhile， presentation of such thinking process as mathematics observation， experiment， guess， operation， reasoning and testing can help them form and develop their mathematics core accomplishments.

Key words： mathematics expression； practical paradigm； mathematics core accomplishmentendprint