對高中數(shù)學(xué) “問題鏈”設(shè)計的幾點認(rèn)識

王宗艷

[摘 要]運用案例法，從“由淺及深，避免膚淺提問”“聚焦鏈接，避免問題離散”“圍繞重難點，避免遠(yuǎn)離關(guān)鍵”三個方面探討“問題鏈”的設(shè)計，以激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生探究能力，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更有效.

[關(guān)鍵詞]問題鏈；高中數(shù)學(xué)；由淺及深；聚集鏈接；圍繞重難點

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0023-02

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題常常以“問題鏈”的形式呈現(xiàn).“問題鏈”是指以構(gòu)建數(shù)學(xué)問題為主線，把講授內(nèi)容設(shè)計成若干個教學(xué)問題或?qū)⒁粋€綜合性大問題分割成若干個小問題，形成以邏輯鏈條為特征的問題組合.“問題鏈”的設(shè)計對一堂課的質(zhì)量起到了關(guān)鍵性的作用.有效的“問題鏈”能活躍課堂氣氛，激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.那么，高中數(shù)學(xué)“問題鏈”該如何設(shè)計呢？

一、由淺及深，避免膚淺提問

一個有效的課堂提問導(dǎo)入，不僅能起到承上啟下的作用，而且可以把學(xué)生帶入問題情境，讓他們帶著問題學(xué)習(xí)新知識.對于問題的設(shè)計，教師應(yīng)注重“雙主體原則”，即要考慮學(xué)生的現(xiàn)有知識水平，不可以超綱，但也不要太過于簡單，以致缺乏層次性，達(dá)不到啟發(fā)學(xué)生思維的效果.可見，數(shù)學(xué)“問題鏈”的設(shè)計，也應(yīng)具有分層教學(xué)的特征，從簡單出發(fā)，向思維的深度進(jìn)軍！

【案例1】 在《對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學(xué)中，教師設(shè)計問題鏈如下：

問題1：試作出y=log2 x和y=[log12x]的圖像.（提示： 它們的圖像如右圖所示.）

問題2：兩圖像與x軸交點坐標(biāo)是什么？[提示：交點坐標(biāo)為（1，0）.]

問題3：兩函數(shù)的單調(diào)性如何？（提示：y=log2 x是增函數(shù)，y=[log12x]是減函數(shù).）

問題4：函數(shù)y=2x與y=log2 x的圖像有什么關(guān)系？它們的定義域、值域有什么關(guān)系？（提示：圖像關(guān)于直線y=x對稱，定義域和值域互換.）

問題5：請從多個角度總結(jié)對數(shù)函數(shù)y=loga x（a>0且a≠1）與指數(shù)函數(shù)y = ax之間的關(guān)系，允許互相探討.（提示：（1）對數(shù)函數(shù)y=loga x（a>0且a≠1）和指數(shù)函數(shù)y = ax互為反函數(shù).（2）底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖像的“升降”：當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)01還是0

上述五個問題由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，由形象到抽象，層層遞進(jìn)，能讓學(xué)生在不知不覺中從已學(xué)的知識轉(zhuǎn)向未學(xué)的新知，尤其是問題5，屬于發(fā)散性問題，既是本節(jié)課的重點，又能將學(xué)生的思維推向高潮，實現(xiàn)了思維的飛躍，達(dá)到了“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的教學(xué)效果.

二、聚焦鏈接，避免問題離散

數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科.“問題鏈”中的問題，一旦設(shè)計得松散，缺乏鏈接，邏輯性不強(qiáng)，往往達(dá)不到數(shù)學(xué)教學(xué)核心目標(biāo).作為數(shù)學(xué)教師，既要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識記憶，更要凸現(xiàn)思維訓(xùn)練，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的邏輯性和遞增性.因此，“問題鏈”的設(shè)計一定要符合學(xué)生的認(rèn)知水平和規(guī)律，層層相扣，由淺及深、由易到難，處處呈現(xiàn)問題間連接與遞進(jìn)的邏輯關(guān)系.

【案例2】 教師甲和教師乙上的同課異構(gòu)課，教學(xué)內(nèi)容是選修2-3《排列》，在課上兩位教師分別設(shè)計了有關(guān)排列解法的“問題鏈”.

教師甲設(shè)計的“問題鏈”：已知有6人按下列要求站成一橫排.

問題1：6人隨意排，問有多少種排法？

問題2 ：其中甲、乙相鄰，問有多少種排法？

問題3：其中甲、乙不相鄰，問有多少種排法？

問題4 ：其中甲、乙相鄰，但甲、乙都不與丙相鄰，問有多少種排法？

問題5 ：甲與乙之間只站2人，問有多少種排法？

問題6：甲、乙、丙3人按從左到右的順序排（可以不相鄰），問有多少種排法？

教師乙設(shè)計的“問題鏈”：

1.二次函數(shù)y = ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c互不相等，它們都在集合{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3}中取值.

問題（1）：開口向上的拋物線有多少條？

問題（2）：過原點的拋物線有多少條？

問題（3）：原點在拋物線內(nèi)的拋物線有多少條？

2.從1到9這9個數(shù)字中取出5個進(jìn)行排列.

問題（1）： 奇數(shù)位置上是奇數(shù)的有多少個？

問題（2）：取出的奇數(shù)必須排在奇數(shù)位置上的有多少個？

由上不難看出，教師甲的設(shè)計優(yōu)于教師乙的設(shè)計.一是教師甲是對同一個問題進(jìn)行討論，環(huán)環(huán)相扣；而教師乙設(shè)計了兩個問題，給人以零散的感覺；二是教師甲設(shè)計的6個問題有層次感，可引導(dǎo)學(xué)生思維逐漸攀升，且涵蓋了排列問題的幾乎所有解法，可謂“一題打遍天下”；而教師乙設(shè)計的問題都是在同一層次上的反復(fù)，體現(xiàn)不出解法的普遍性和多樣性.因此，教師在設(shè)計“問題鏈”時，應(yīng)遵循承上啟下、環(huán)環(huán)相扣、一線相連等規(guī)律，切不可“天女散花”，星星點點，毫無頭緒.

三、圍繞重難點，避免遠(yuǎn)離關(guān)鍵

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“問題鏈”如果指向不到位，遠(yuǎn)離關(guān)鍵問題，會直接影響學(xué)生對學(xué)習(xí)難點的突破.因此，教師在設(shè)計“問題鏈”時要圍繞重難點知識，體現(xiàn)問題的核心.

【案例3】 《基本不等式》的教學(xué)重點是基本不等式的靈活應(yīng)用.為此，筆者圍繞此重點設(shè)計了如下利用基本不等式求最值的“問題鏈”.

問題1：已知[a>0]，[b>0]，[a+b=1]，則[1a] + [1b]的最小值為________.

問題2 ：已知[a>0]，[b>0]，[1a] + [1b]=4，則a+b的最小值為________.

問題3：已知[a>0]，[b>0]，a+2b=3，則 [2a]+ [1b]的最小值為________.

問題4：設(shè)a>0，b>1，若a+b=2，則[2a] + [1b-1]的最小值為________.

問題5： 已知第一象限的點（a，b）在直線2x+3y-1=0上，則代數(shù)式[2a] + [3b]的最小值為________.

問題6：設(shè)x，y滿足約束條件[3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0.]若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（[a>]0，[b>]0）的最大值為12，則[2a] + [3b]的最小值為________.

問題7：設(shè)二次函數(shù)f （x）=ax2 - 4x + c（x∈R）的值域為[0，+∞），則[1c+1] + [9a+9]的最大值為________.

上述7個問題從單一的知識應(yīng)用開始，不斷遞進(jìn)式地改變問題的條件，不斷擴(kuò)大知識的應(yīng)用范圍，最終走向綜合問題的解決.這種類似變式問題的“問題鏈”，始終緊緊圍繞“基本不等式的應(yīng)用”這個中心，讓學(xué)生感悟到利用基本不等式求最值的方法及注意點：（1）知和求積的最值：求解此類問題的關(guān)鍵為明確“和為定值，積有最大值”.但應(yīng)注意以下兩點：①具備條件“正數(shù)”；②驗證等號成立.（2）知積求和的最值：明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件.（3）構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”替換的方法，構(gòu)造不等式求解.（4）利用基本不等式求最值時應(yīng)注意：①非零的各數(shù)（或式）均為正；②和或積為定值；③等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可.

總之，好的問題，需要教師去發(fā)現(xiàn)，更需要教師去精心設(shè)計.這就要求教師深刻領(lǐng)會教材，立足新課標(biāo)，準(zhǔn)確把握教學(xué)大綱和教學(xué)目標(biāo)，熟知學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平.只有這樣，設(shè)計出的“問題鏈”，才具有針對性、啟發(fā)性和層次性，才能明確指向教學(xué)重點，從而避免教學(xué)的盲目性和隨意性，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更有效.

（責(zé)任編輯 黃春香）