例談數形結合在求曲線交點個數、求最值教學中的應用

摘 要：數形結合法不僅在數學教學中有著廣泛的應用，而且在近幾年的高考試題中多次出現，因此引起了廣大數學教師的重視。筆者在此就數形結合法在求曲線交點個數或求方程的根，以及求最值教學中的應用談了自己的做法。

關鍵詞：數形結合；數學教學；應用舉例

一、 數形結合在求曲線交點個數或求方程的根教學中的應用

例1 方程lgx=sinx的實根的個數是（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

分析：作出y=lgx和y=sinx的圖象如圖1，從圖1可知，當0

例2 橢圓（x+1）24+y2=1和拋物線y=1-（x+1）2的交點個數是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

分析：如圖作出橢圓和拋物線的草圖如圖2，從圖可知兩曲線的交點個數為3，即選D。

二、 數形結合在求最值教學中的應用

例1 如果x、y滿足（x-2）2+y2=3，求yx的最大值（ ）

A. 12

B. 33

C. 32

D. 3

分析：x、y滿足的方程對應的曲線是以（2，0）為圓心，3為半徑的圓（如圖3）。記yx=k，即y=kx，它表示過原點（0，0）斜率為k的直線。顯然，當直線與圓相切時k取最值。由

|2k-0|k2+1=3

得k2=3

∴k=±3

因此，k的最大值為3，故選D。

例2 若點A坐標為（3，2），點F為拋物線y2=2x的焦點，設P在拋物線上移動，為使得|PA|+|PF|取得最小值，則點P的坐標為（ ）

A. （0，0）B. （1，1）

C. （2，2）D. （1，2）

分析：拋物線y2=2x的焦點為F（12，0），準線為l：x=-12（如圖4）。由拋物線的幾何性質知PF與P到準線l的距離相等，于是，若過P作PQ⊥l于點Q，則|PQ|=|PF|，從而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|為了使右式最小，其充要條件是A、P、Q三點共線，故yP=2，因此選C。

作者簡介：

耿娜，遼寧省本溪市，本溪市高級中學。