數形結合在高中數學教學中的應用舉例

摘 要：數學研究中數與形是有聯系的，運用他們之間的聯系來解決數學問題，我們稱之為數形結合。數形結合法作為一種重要的數學思想方法，在數學教學中被廣泛應用。筆者在此就數形結合法在概率與統計中的應用，以及在求參變量的范圍教學中的應用列舉數學實例進行了說明。

關鍵詞：數形結合；數學教學；應用舉例

一、 在概率與統計中的應用

例1 設隨機變量ξ～N（2，σ2），且P（2<ξ<4）=0.3，則P（ξ<0）= .

分析：由正態曲線性質知，正態曲線（如圖1）的對稱軸是x=μ=2，正態曲線下（x軸上）面積為1，故P（ξ>2）=P（ξ<2）=0.5。

又P（2<ξ<4）=0.3（陰影部分的面積），故P（ξ>4）=0.2。再由對稱軸是x=2得，P（ξ<0）=P（ξ>4）=0.5。

例2 已知正態總體的數據落在（-3，-1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，那么這個正態總體的數學期望為 .

分析：正態曲線如圖2，依題意，陰影部分的面積相等由正態曲線的對稱性得對稱軸為x=-1+32=1，故μ=1，即數學期望Eξ=1。

例3 設隨機變量ξ的概率密度函數為

f（x）=x （0≤x≤1）

-x+2 （1

0 （x>2或x<-2）

則落在區間（0.3，0.7）內的概率值為 .

分析：隨機變量 ξ 的概率密度曲線如圖3，則所求概率值等于圖中陰影部分（即梯形）的面積，故易得答案為（0.3+0.7）×0.42=0.2。

二、 數形結合在求參變量范圍教學中的應用

例4 曲線y=1+4-x2（-2≤x≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，實數k的取值范圍是（ ）

A. 512，+∞

B. 512，34

C. 0，512

D. 13，34

分析：y=1+4-x2（-2≤x≤2）表示的曲線是圓x2+（y-1）2=4的上半圓（如圖4）；而k是過定點P（2，4）的直線y=k（x-2）+4的斜率。若設PT與半圓切于第二象限，記直線PT與直線PA的斜率分別為k1、k2，則所求k的取值范圍是k1

例5 集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=|x|}，若A∩B是單元素集合，則a的最值范圍是（ ）

A. a≥1或a≤1B. a>1或a<-1

C. -1≤a≤1D. 以上答案都不對

分析：集合A表示過點（0，1）的一束直線，集合B表示第一、二象限的角平分線（如圖5）。易得當a=±1時集合A表示的直線與集合B表示的直線平行，再由斜率與傾斜角的關系即可選A。

作者簡介：

李金錠，遼寧省本溪市，本溪市高級中學。