數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

摘 要：數(shù)學(xué)研究中數(shù)與形是有聯(lián)系的，運(yùn)用他們之間的聯(lián)系來解決數(shù)學(xué)問題，我們稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛應(yīng)用。筆者在此就數(shù)形結(jié)合法在概率與統(tǒng)計中的應(yīng)用，以及在求參變量的范圍教學(xué)中的應(yīng)用列舉數(shù)學(xué)實(shí)例進(jìn)行了說明。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用舉例

一、 在概率與統(tǒng)計中的應(yīng)用

例1 設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（2，σ2），且P（2<ξ<4）=0.3，則P（ξ<0）= .

分析：由正態(tài)曲線性質(zhì)知，正態(tài)曲線（如圖1）的對稱軸是x=μ=2，正態(tài)曲線下（x軸上）面積為1，故P（ξ>2）=P（ξ<2）=0.5。

又P（2<ξ<4）=0.3（陰影部分的面積），故P（ξ>4）=0.2。再由對稱軸是x=2得，P（ξ<0）=P（ξ>4）=0.5。

例2 已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在（-3，-1）里的概率和落在（3，5）里的概率相等，那么這個正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為 .

分析：正態(tài)曲線如圖2，依題意，陰影部分的面積相等由正態(tài)曲線的對稱性得對稱軸為x=-1+32=1，故μ=1，即數(shù)學(xué)期望Eξ=1。

例3 設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為

f（x）=x （0≤x≤1）

-x+2 （1

0 （x>2或x<-2）

則落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率值為 .

分析：隨機(jī)變量 ξ 的概率密度曲線如圖3，則所求概率值等于圖中陰影部分（即梯形）的面積，故易得答案為（0.3+0.7）×0.42=0.2。

二、 數(shù)形結(jié)合在求參變量范圍教學(xué)中的應(yīng)用

例4 曲線y=1+4-x2（-2≤x≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）

A. 512，+∞

B. 512，34

C. 0，512

D. 13，34

分析：y=1+4-x2（-2≤x≤2）表示的曲線是圓x2+（y-1）2=4的上半圓（如圖4）；而k是過定點(diǎn)P（2，4）的直線y=k（x-2）+4的斜率。若設(shè)PT與半圓切于第二象限，記直線PT與直線PA的斜率分別為k1、k2，則所求k的取值范圍是k1

例5 集合A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=|x|}，若A∩B是單元素集合，則a的最值范圍是（ ）

A. a≥1或a≤1B. a>1或a<-1

C. -1≤a≤1D. 以上答案都不對

分析：集合A表示過點(diǎn)（0，1）的一束直線，集合B表示第一、二象限的角平分線（如圖5）。易得當(dāng)a=±1時集合A表示的直線與集合B表示的直線平行，再由斜率與傾斜角的關(guān)系即可選A。

作者簡介：

李金錠，遼寧省本溪市，本溪市高級中學(xué)。