應用插空法妙解排列組合問題

袁煒

[摘 要]解題方法的正確選用是解答數學題目的有力保障.應用“插空法”能巧妙解答排列組合所涉及的數字問題、順序問題和“關燈問題”.

[關鍵詞]插空法；排列組合；高中數學

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號] 16746058（2017）35002101

高中數學教學中，排列組合問題占有較大的比例，是高考的必考內容，也是高中數學教與學的難點.如何巧妙地解答排列組合問題，成為高中數學教師研究的內容.針對不同的排列組合問題，選用恰當的解題方法，可以快速、準確地解答.筆者將結合自身多年的教學經驗，探討插空法在排列組合問題中的巧妙應用.

一、數字問題

學生在解答排列組合問題時，常會遇到數字排列的問題.若是兩三位數字的排列組合，學生可以采用簡單的列舉法計算排列的種類.但當題設條件中的位數較多，且插入較多的約束條件后，排列組合的難度就有所提升.此時，高中數學教師可以引導學生采用插空法解決此類問題.

比如，有這樣一道數字問題的習題：把1、2、3、4、5組成沒有重復的五位數，且1、2兩個數字不能相鄰，問有多少種不同的排列方法？這是一道涉及五位數的數字排列組合問題.若是采用單獨的列舉方法進行解答，不僅解答過程繁復，也容易出錯.這時，我引導學生采用插空法進行思考，應用相應的定理進行解答.題目中要求1、2這兩個數字不能相鄰，因此我們便可以將3、4、5先進行排列，采用1、2插空的方法進行解答.排列3、4、5這三個元素，共有A33種排法，形成4個空位，再將1、2兩個元素插入四個空位，共有A24種排法.再用乘法原理可得：

A33×A24=72.

可見，本題中的排列方法共有72種.

針對此類數字排列問題，若采用插空法對有特殊要求的元素進行插空，可以幫助學生有效地厘清解題思路，快速、準確地解答問題.學生掌握了用插空法解決這一數字問題后，同類的問題都可采用此方法進行解答.

二、順序問題

解答排列組合問題會遇到許多有關順序的問題.采用插空法解決此類問題時，需將題設條件中的先后順序厘清.先排列組合無特殊要求的元素，再將有特殊要求的元素進行排列，最終采用乘法原理加以解答.比如，“節目單排序”問題就是一道典型的順序問題.已知，在現有的節目單中有6個節目，想要再添加3個新的節目到節目單中，要求節目單中原有的節目順序不變，那么添加節目的方法有多少種？此題中要求原有的6個節目順序不變，并在此基礎上，添加3個節目，是典型的順序問題.解答此類問題可以選擇順序插空法.原有的6個節目順序不變，共形成7個空位，先將要加入的一個節目進行插空，共有A17種.此時7個節目形成了8個空位，要加入的第2個節目插空，共用A18種方法.同理，第3個節目插空時，方法就有A19種.此時，再進一步采用乘法定理進行計算，可得

A17×A18×A19=504.

可見，此順序問題共有504種排列組合方法.

針對此類順序問題，教師引導學生選用順序插空法進行解答時，可以將這一題目分成三個層面，讓學生一層一層地進行思考和解答，從而提升解題準確率.

三、關燈問題

排列組合問題中還會涉及“關燈問題”的解答.此類問題若直接解答，難度較大.但也不能夠直接套用插空法.在遇到此類問題時，教師應當引導學生仔細分析題目中的內容，并根據題目中的內容，合理地運用插空法加以解答.

比如，有這樣一道習題：一條馬路上有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9共九盞路燈，現在為了節省用電，要求將九盞路燈中的三盞關掉，為不使路面太黑，要求相鄰的兩盞或三盞燈不可同時關掉，問可以有多少種不同的關燈方法？顯然，若是直接采用插入法進行解答是不可行的.此時，就要求學生能夠轉換思路，從反面思考.題目中共九盞路燈，滅了三盞，則還有六盞燈亮著，那么我們可以將亮著的六盞路燈作為不可變的元素，用三盞滅了的路燈去插空，六盞路燈共形成7個空位，得C37=35.

通過轉換思路，將關燈問題轉換成插空問題，則此類問題可以得到快速解決.而轉換思路運用插空法，在排列組合問題中也適用于更多的題型.

總的來說，插空法在排列組合問題中的應用廣泛，不僅僅是數字問題、順序問題和“關燈問題”適用這一方法，“停車問題”“座位問題”等也都適用.因此，教師在教學時，應當引導學生活學活用，而不是一味地套用.只有全面地理解了使用方法，學生在解答此類問題時才能融會貫通.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]陳彪.插空法解排列組合問題探討[J].中學課程輔導，2013（25）.

[2]王延勝.高中數學教學方法探析[J].中學教育，2016（3）.endprint