高中數學函數分類討論解題探析

張翰至

摘要：函數作為高中數學的重要內容，也是高中數學的一大難點。高中生普遍反映函數學習比較困難，因此探討函數解題策略就顯得至關重要。本文從函數概念出發，對分類討論思想在高中數學函數解題中的應用進行探討。

關鍵詞：函數；分類討論；高中數學

函數是貫穿高中數學課程的主線，是描述客觀世界變化的重要數學模型，它所蘊含的思想與方法有利于培養學生的邏輯思維能力、問題解決能力、數學聯結能力。高中生為了掌握函數這部分的知識，往往通過盲目的題海戰術來提高解題技能。分類討論思想符合高中生接受知識的一般過程，容易被學生接受，因此在數學學習中具有重要作用。隨著數學體系的快速發展，學生在數學學習過程中應用分類討論思想，不僅可以在解題的過程中快速找到函數習題的具體類型，還可以提高學生的解題效率。

一、函數在高中數學中的地位與作用

函數是貫穿高中數學的一條主線，內容被安排在高中教材必修1中，在數集的基礎上利用映射的思想闡釋函數的概念，緊接著是函數的表示方法、性質等。數學的學習是一個逐漸加深的過程，必修1中函數的學習可以培養學生的邏輯思維能力，必修2可以培養學生的空間想象能力，必修3可以培養學生的運算能力，從而為必修4三角函數的學習奠定堅實的基礎。

函數是高中數學的關鍵，函數思想方法貫穿于高中數學課程的始末。同時，函數也是高中到大學進一步學習數學分析、實變函數、復變函數、微積分、泛函分析、拓撲學等高等院校開設的數學課程的基礎，是從不同的角度研究函數而形成的課程[1]。同時，函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，它廣泛地滲透到其他學科中，比如：物理、化學、計算機等，這些學科常用函數知識作為研究問題和解決問題的工具，比如：可以利用三角函數測量山高、樹高、調整電網等問題。此外，函數思想方法也廣泛地滲透到其他學科中，也是進一步學習數學及其它學科的基礎。

二、數學中分類討論的常見類型

在進行分類討論中應遵循以下原則：明確分類討論的動因與方法，條理不明，不重不漏，分清主次，不越級討論。若由于參數的不同取值造成原問題有不同的結論，作答時只能按類分述而不能合并。分類討論的常見類型主要包括以下幾個方面：

1、由數學概念引起的分類討論。含絕對值的式子，去掉絕對值符號，需分正、負2種情況討論；直線的斜率，當傾斜角為π/2時，斜率不存在；指數函數與對數函數的底數不確定時，要分01進行分類討論等。

2、由性質、定理、公式的限制引起的分類討論。差別式法的應用中對二次項系數是否為0要進行分類討論等。

3、由數學運算引起的分類討論。對數真數的要求，商的運算中分母不為0，利用導數法判斷函數單調性，三角函數的定義域，導數的正、負不確定性或導函數的零點大小不確定等，需要進行分類討論。

4、由圖形的不確定性引起的分類討論。當二次函數最值問題的求解中圖像的開口方向、對稱軸與所給區間的位置關系等時，需要進行分類討論。

5、由參數的變化引起的分類討論。某些含有參數的問題，比如含參數的方程、不等式等，由于參數的取值不同會導致所得結果不同或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法時，必須進行分類討論。

三、分類討論解題在高中數學函數中的應用

分類討論思想是一種重要的數學解題思想，在數學解題過程中應用分類討論思想，不僅可以簡化解題思路，還能培養發展學生的數學思維。在高中數學函數解題過程中，分類討論思想的應用主要表現在以下幾個方面：

1、根據函數概念進行分類討論。由于高中數學函數問題相對來說難度較大，在進行解題時，要將每一道數學函數問題進行深度的剖析。而每個函數都有自身的定義和限制條件，在利用分類討論解題的過程中，我們要善于根據函數的定義以及限制條件，對問題進行討論并解決。只有在明確函數的概念和使用范圍的基礎上才能使得分類討論解題真正地發揮其作用。比如：假設00且不為1時，比較│loga（1-x）│和│loga（1+x）│的大小。在解決該問題時，首先必須明確指數和對數的概念，以及兩者之間的聯系。在比較大小的過程中，需要學會將指數化為對數，通過對數直觀地進行二者的比較。將二者變為對數之后，再對x的范圍進行分類討論，自然能夠得到想要的答案。

2、根據函數圖形位置進行分類討論。在高中函數問題中，有一種類型的函數問題和函數圖像對稱軸的位置相關。在解決該類問題時，需要把握住對稱軸這一關鍵信息。通過對稱軸的位置，對圖像的形狀、交點等進行分類討論，從而得出最終的答案。由于這類題型的特征比較明顯，因而可以通過圖像特征看出題目的意圖，從而進行分類討論。比如：在xoy平面內有一條曲線，y2=2x，點Q（b，0）是一個動點，曲線上的點到Q思維最短距離為？（b），求它的函數解析式。在解決該問題時，我們應該首先畫圖，通過畫圖找出Q點和函數上的點之間的關系，從而能夠借助對稱軸找出最短路徑[2]。找到最短路徑后，根據這個函數是關于x軸對稱，進而對a是否大于1進行討論就能夠得到最終的答案。

3、根據二次函數的類型進行分類討論解題。與二次函數相關的問題主要有兩大類，定軸動區間和動軸定區間。兩種類型的函數解題方法天差地別，一旦將其混淆，就會降低解題效率和正確率。在解題時，首先需要將二者的區別進行甄別。定軸動區間的典型特征在于題目會提供一個完整的函數表達式，但區間是未知的[3]。在解決該問題時，應該首先判斷對稱軸的位置，在此基礎上依據對稱軸的位置進行區間范圍的劃分，從而分類解出答案。對于動軸定區間，該類題型的典型特性在于給出的函數關系式是不確定的，但區間確定從而進行系數的求解。在解決動軸動軸定區間這類二次函數時，我們需要分類討論函數關系式的多種情況，結合區間進行求解。

四、結語

總之，高中數學中的函數問題是一個極為復雜的問題。分類討論思想適用范圍廣，可以強化學生的理解能力，提高其解題效率。

參考文獻

[1] 劉見樂，羅敏娜.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育，2011，（10）：45-46.

[2] 蔡友君.高中數學函數分類討論思想解題探析[J].高考（綜合版），2015，（06）：124-125.

[3] 史曉偉.高中數學函數分類討論解題探析[J].數理化學習，2016，（02）：3-4.