高中數學中數形結合法的應用策略

摘要：隨著中學數學教學的改革，培養學生能力、提高教學質量成了中學數學教師研究的課題。數形結合是最為重要的數學思想方法之一，它使“形”和“數”聯系起來，以數助形，以形助數，靈活解決了高中數學中的諸多問題。本文從數形結合的定義和應用原則出發，對數形結合法在高中數學中的應用進行探討。

關鍵詞：數學方法；高中數學；數形結合

引言：

數形結合是高中數學中最基本的思想方法，運用數形結合解題就是在解決有關數量問題時，根據數量畫出相應的幾何圖形，將其轉化為幾何問題；或者在解決幾何問題時，根據圖形寫出相應的代數信息，將其轉化為代數問題，從而實現靈活的解決實際問題。采用數形結合方法可以使要解決的問題化難為易，化繁為簡，擴展思維。

一、數形結合的定義

數學的研究對象是現實世界數量關系（數）與空間形式（形），“數”體現了數量的關系，而“形”體現了空間的形式。數和形常常相互依存，抽象的數量關系常有直觀的幾何意義，而直觀的圖形性質也常由數量關系加以描述，數和形在一定的條件下可以相互轉化。所謂的數形結合主要是指在數學課堂教學中，通過將“數”與“形”相互結合的方式，擴展解題思路，明確解題方向，進而將抽象數學思維與空間邏輯相結合，通過直觀的形象展示數學思路，將復雜化的數學題目簡單化[1]。

二、數形結合的應用原則

由于數學問題千變萬化，解決問題時沒有固定統一的模式與方法，將數形結合方法應用于數學教學時，一方面要符合數學的教學原則以及數形結合方法在教學中的教育價值，另一方面要符合高中生學習的認知特點。應用數形結合時，應遵循以下原則：

1、等價性原則

等價性原則是指“形”的幾何性質與“數”的代數性質的轉換過程應該是等價的，即對所說問題的圖像表示與數所反映的數量關系應具有一致性。同時，在運用圖形解題時要注意把握其準確性，防止誤差的出現。

2、雙向性原則

雙向性原則是指不僅要對數學問題進行代數的抽象探索，還要對幾何圖形進行直觀分析。代數關系的表示及運算要比幾何直觀圖形結構更具有優越性，避免了幾何構圖的許多局限性。而圖形表示又更直觀，從而體現出“形”和“數”的和諧之處。

3、簡潔性原則

簡潔性原則是指數形轉換時，盡可能使構圖簡單合理。既要做到幾何作圖完整直觀，又要使得代數計算簡潔、明了，避免復雜繁瑣運算，縮短解題時間，降低難度。從而實現“化難為易，化繁為簡”的目的，符合數學簡潔美的要求，也體現出解決問題的藝術性與創新性。

4、直觀性原則

直觀性原則是指不僅要求充分利用坐標及圖形，還要在應用數形結合圖形演示或者模擬列表的數學實驗，使抽象的數學概念直觀化、具體化和模型化。比如，學習微積分時，教師應該為學生介紹積分的思想以及用分割法求積分的思想，使得學生對積分有直觀明了的理解和掌握。

三、數形結合在高中數學中的應用策略

1、數形結合在三角函數中的應用

三角函數是描述周期運動的重要數學模型，也是高中數學中的重點和難點，這時就需要運用數形結合方法來進行解決。比如：求5π/3的正弦、余弦和正切值。在解決該問題時，可以采用數形結合的方法[2]。

在解決該問題時，在坐標系中在角5π/3上任取點P，畫輔助線AP，得到一個三角形Rt△PAO，通過各點的坐標得出各線段的長度，在求得所知角的正弦、余弦和正切值，作圖之后利用圖像特征我們可以輕松的畫出輔助線，清晰直觀的幫助我們快速解題。

2、數形結合在立體幾何中的應用

高中數學中，立體幾何的空間性較為突出，因此在解決立體幾何問題時，應該堅持“以數助圖”，通過題目中已知的數學信息，進行圖形的轉變。可以對幾何圖形增加輔助線，通過圖形發現題目中隱藏的數學信息，進而運用所學的定義和理論套用在幾何運算中，將復雜的幾何圖形簡單化[3]。比如：對于垂直、平行關系的幾何題目，將復雜的幾何問題轉變為代數計算，通過代數推理解決幾何問題。還可以適當采用向量法，將幾何數據轉化為線段，運用向量關系推理幾何推理。此外，將數形幾何方法應用于幾何問題的解題過程中時，需要注意將代數與幾何的相互銜接，還要結合幾何定理進行解題。

3、數形結合在解方程中的應用

在高中數學中，科學、合理地運用數形結合的方法進行解題，能夠有效地提高解方程的效率。第一，在進行一元二次不等次解題的過程中，可以將一元二次不等式轉化成二次函數圖像的形式，將數轉化為形，并通過二次函數中拋物線的交點、開口方向進行求解。第二，在求方程的實根個數的應用，同樣是通過二次函數的數形結合方法，通過圖像的交點的交點判斷實數根的個數。此外，在運用二次函數圖像解方程的過程中，要保證圖像的準確性，避免在解題過程中出錯，在遇到較為復雜的方程解題時，一方面要注意二次函數的準確性，另一方面還要考慮代數公式的引入，運用數形結合的方法進行分類求解，確保答案精準。

結束語：

總之，利用數形結合思想有利于初、高中數學教學的過渡銜接。通過數形結合方法引導學生由靜態思維方式變為動態思維方式，也就是以運動、變化、聯系的觀點考慮問題。通過前文的論述，我們知道數形結合方法可以增加解決問題的靈活性。因此，數形結合在數學教學中據用重要的地位，需要不斷探索并應用。

參考文獻：

[1]蔡平.數形結合方法在高中數學教學中的應用分析[J].數理化解題研究，2016（15）：8.

[2]孫麗艷.數形結合方法在高中數學教學中的應用[J].《中國校外教育旬刊》，2015（10）：127-127

[3]董愛華.淺談高中數學中數形結合的應用策略[J].數學學習與研究，2015（21）：75.

作者簡介：郭梓灝（2000.10.22—）男，漢族，河北省武安市人，高中學歷。endprint