淺議向量在高中數學中的應用

王瀝晗

摘要：高中數學學習的內容比較多，但是高考關于向量的考試側重點卻比較明確，題型基本固定，在數學學習中掌握好基礎性向量知識，正確區分向量類型能有效幫助我們解題。為此本文結合目前身邊同學們的學習現狀，從向量在高中數學中的應用角度分析我們應該如何運用向量提高數學解題能力。

關鍵詞：高中數學；向量；解題；數學思維能力

一、向量概述

數學中的向量是指大小、方向都能確定的一種量，主要由線和箭頭組成。一般情況下箭頭標明的是具體方向，而線段長度可視作這個量的大小。

二、向量在高中數學中的應用分類

向量一般不會單獨設定考題，往往和數學其他問題融合在一起成為考題，而根據向量的一般解決辦法，我們就能做出正確答案。其中向量運算的基本規律是我們學習向量的關鍵，要熟練掌握以下三個基本公式：

結合我們在課堂中接觸的實際來看，其中向量對高中數學其他問題進行綜合應用的情況非常多，現就數量積、三角函數、幾何等三方面進行分析：

1.與平面向量數量積有關的問題。通常在高中數學學習中我們經常會遇到垂直證明問題、長度求解問題、夾角問題等，這些問題從正面解決的難度比較大，因而需要從側面，借助向量來實現求解。

2.向量與三角函數融合問題。三角函數通常是帶有直角坐標系這種類型的，向量在其中能確定方向和大小，從而和三角函數實現融合，使得題型增加變數，解答需要從向量使用入手。

3.向量與幾何的結合問題。在我們高中數學學習中時常會遇到幾何證明題與向量的結合情況，需要借助向量加減、乘積等實現幾何題的證明。

三、向量在高中數學中的題型應用

例題1：若向量

=（1， 1），

=（2， 5），

=（3， x）滿足條件8（

-

）·

，那么x=（ ）。

解：根據題干我們可以很容易發現，這道題的考察主要方向是針對平面向量運算的，其中有涉及向量坐標運算，也有考察數量積的問題，為此我們應該要快速回憶所學的知識點，思考如何分解條件，解出答案。做題時，我們要有嚴謹的數學邏輯思維，確定解題方向后，做好每一個解題步驟的規范有序。

第一步先進行括號內的坐標運算：

8（

-

）=8（1， 1）-（2， 5）=（6， 3）

第二步，拆解條件，做好數量積運算準備：

8（

-

）·

=（6， 3）·（3， x）

第三步，整理后即可獲得一元一次方程，獲得正確答案：18+3x=30，解得x=4。

例2：在直角坐標系xOy中，已知向量

=（-1， 2），又點A（8， 0），B（ksinθ， t）（0≤θ≤

）

若

，且

，求向量

。

解：在看到這樣的題時，我們很容易從中看出向量和三角函數融合的情形，那么在解題時就要有明確的思路，先確定從平面向量坐標運算入手的方向，抓住向量基本運算公式的要點，逐步求解。

第一步，根據條件進行平面向量坐標運算，根據垂直條件，運用垂直計算公式，可得：

由此可發現，我們初步確立了兩個未知數，可以聯立得到一個二元一次方程，通過化簡可得：

實際上我們可以分析得出，向量與三角函數的題型解決辦法在于把問題轉化為常見的代數，然后進行運算，這樣能節省我們更多的時間，也更加有利于我們找到解題思路，得到正確答案。

例3：已知向量

，

滿足

·

=0，|

|=1，|

|=2，則|2

-

|等于（ ）。

解：這種題實際上從表面看是在考察我們向量的簡單運算，并且涉及數量積、綜合運算等問題，相對比較簡單，但如果按照常規解法，我們需要很大的計算量，具體公式如下：

第一步，要用到根號（很大一部分同學容易忘記，或者記錯）：

第二步，要用到開平方公式（這個公式很多同學就更不容易理解和應用了）：

但是我們根據幾何中數形結合的思想，我們很容易從已知條件

·

=0得到：以向量

，

為鄰，可以實現數形變化，形成一個新的矩形輔助解題。然后確定邊長和寬，借助已知條件得到|

|=1，|

|=2。由此我們就可以構建出幾何圖形輔助解出正確答案，如圖1。

四、總結

綜上所述，向量在高中數學學習中的應用分析還是需要我們學生多掌握基礎知識，從坐標運算的基本步驟，到公式的轉化應用，都需要進行記憶和練習，才能在解題中有基礎保障。然后在學習中我們還要多向老師請教，吸取做題的技巧，雙管齊下，才能更好的提升自己的數學解題能力。

參考文獻：

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