三談“好玩”的“旁證”費爾馬大定理

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

已知：x2+y2=z2（勾股定理，當然z＞y＞x）。

對“x2+y2=z2”進行“等差數(shù)列化解”：

［（y+x）2+（y-x）2］÷2=z2。

證明該等式：

［（y+x）2+（y-x）2］÷2=z2。

去小括號，得［y2+2xy+x2+y2-2xy+x2］÷2=z2；

整理中括號內(nèi)容，得［2x2+ 2y2］÷2=z2；［2x2+2y2］可寫成2（x2+y2），因此2（x2+y2）÷2=z2可寫成x2+y2=z2。

洞察［（y+x）2+（y-x）2］÷2=z2，根據(jù)等差數(shù)列中項公式可判斷（y-x）2、z2、（y+x）2構成等差數(shù)列，其公差為2xy：

z2-（y-x）2=（y+x）2-z2。

去括號，得z2-y2+2xy-x2=y2+2xy+x2-z2；

已知z2=x2+y2，該等式可寫成x2+y2-y2+2xy-x2=y2+2xy+x2-x2-y2，整理之后，得2xy=2xy。

當n＞2時，xn+yn=zn不能如同x2+y2=z2那樣進行“等差數(shù)列化解”，當然也就不存在公差2xy，從而當n＞2時，xn+yn=zn與x2+y2=z2可謂天壤之別，不可同日而語，因此，理所當然沒有正整數(shù)解。當n＞2時，xn+yn=zn和x2+y2=z2的本質(zhì)區(qū)別和主要矛盾就在于能否“等差數(shù)列化解”。正如哲人所說：研究任何過程，如果存在兩個以上復雜情況，就要用全力抓住主要矛盾，抓住了這個主要矛盾，一切問題就迎刃而解了。

該文的“旁證”含義：利用x2+y2=z2等號旁邊“x2+y2”進行“化解”來求證費爾馬大定理。

通過“化解”來提高x2+y2=z2的“透明度”，從而增強該等式與xn+yn=zn（n＞2）的可比性和矛盾性來證明費爾馬大定理。

“x2+y2=z2”的優(yōu)點在于能夠等差數(shù)列化解，因而有正整數(shù)解；“xn+yn=zn”（n＞2）的缺點在于不能等差數(shù)列化解，因而沒有正整數(shù)解。如此這般，優(yōu)點和缺點的主要矛盾“相反相成”于“xn+yn=zn”（n為任何正整數(shù)）這個統(tǒng)一體之中，充分體現(xiàn)了對立統(tǒng)一這個宇宙的根本規(guī)律。然而，公差“2xy”是所有正整數(shù)解的核心，所有正整數(shù)解必然和2xy這個核心保持高度一致。2xy是費爾馬大定理的要害，猶如咽喉啊！

費氏身后謎團擱，眾人爭相把題解。蹉跎歲月遠離他，進取春秋近靠我。夜合三更聞雞舞，晝分五時見紙寫。不成功來便成仁，人生能有幾回搏？