對多角度解題的一點探究

摘要：為更好地培養和提高學生的數學核心素養，應從題目拓展、解題思路、解題方法、解題途徑等多角度進行訓練，強化學生的數學思維，增強學生的應用意識。

關鍵詞：多角度；拓展；數學思維

教師在數學教學中經常會面臨一個突出的問題：如何從應試教育向素質教育轉變，培養學生良好的思維品質是實現這一轉變的一個重要方面。我們應該培養學生能夠從多角度去觀察、分析并處理題目，啟發學生的積極性，增強學生的應用意識，真正實現提高學生的數學核心素養。

一、 對題目進行引申，開拓思維

在解題時，應引導學生對題目進行探究：可否對題目的條件或者結論進行變形，可否對題目進行引申拓展，有相關聯的題目嗎？經常做這種層層深入的思考研究，學生的數學解題思維就可以得到很好的開拓。

【例】在△ABC中，AB=AC。

（1）如圖（1），如果點M是BC邊上的中點，連接AM，求證：AB2-AM2=BM·CM；

（2）如圖（2），若點M是BC邊上的一個動點，那么（1）中的結論還成立嗎？

（3）如圖（3），若點M是線段BC的延長線上任意一點，那么線段AB，AM，BM，CM之間有什么樣的數量關系？

（1）

（2）

（3）

分析：這個題目可引導學生發現：它主要是考查學生對等腰三角形的性質的理解應用，同時還有對勾股定理的掌握。從（1）中的特殊情況中點切入，到（2）拓展到任意一點，又引申到（3）的延長線上，這樣既使學生加深了對基礎概念、定理的掌握，同時又可以開拓數學思維，提高綜合運用的能力。

對題目進行拓展變化可以很好地提高學生靈活解題的能力。通常變題方法有：條件的弱化；條件的強化；逆向變化；結論推廣等。

二、 探索解題途徑，發散思維

在解題時教師要加強引導學生去發現探索不同的解題途徑，這有助于培養學生扎實的數學解題技能，訓練學生具有獨立的數學思維，避免常規的思維定勢。

【例】已知f（x）=ax2+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值為2，最小值為-52。

求證：a≠0，且ba<2。

分析：引導學生思考，題目的關鍵點在哪里？反證法的適用范圍是什么？

證明：假設a=0，或ba≥2。

（1）當a=0時，由a+c=0，得f（x）=bx，顯然b≠0。由題意得f（x）=bx在[-1，1]上是單調函數，所以f（x）的最大值為|b|，最小值為-|b|。由已知條件，得|b|+（-|b|）=2-52=-12，這與|b|+（-|b|）=0相矛盾，所以a≠0。

（2）當ba≥2時，由二次函數的對稱軸為x=-b2a，知f（x）在[-1，1]上是單調函數，故其最值在區間的端點處取得。

所以f（1）=a+b+c=2f（-1）=a-b+c=-52

或f（1）=a+b+c=-52f（-1）=a-b+c=2

又a+c=0，則此時b無解，所以ba<2。由（1）（2），得a≠0，且ba<2。

說明：在數學解題中，應當訓練學生積極探索不同的解題途徑，對于有些題目直接求解比較繁瑣或者很難求解時，可考慮是否可以采用反證法。培養學生的發散性思維，從而能夠更為靈活簡潔地解答題目。

三、 找尋不同解題方法，拓展思維

在數學解題教學中，教師應引導學生在解題過程中盡量從不同的角度出發，主動地去發現不同的解題方法，這可以使得學生的思維得到拓展，達到提高學生數學核心素養的目的。

【例】已知a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by≤1。

證明：證法1（比較法）：

1-（ax+by）=12（1+1）-（ax+by）

=12（a2+b2+x2+y2）-（ax+by）

=12[（a2-2ax+x2）+（b2-2by+y2）]

=12[（a-x）2+（b-y）2]≥0

所以ax+by≤1

證法2（分析法）：要證ax+by≤1

只需證1-（ax+by）≥0

即2-2（ax+by）≥0

因為a2+b2=1，x2+y2=1

所以只需證（a2+b2+x2+y2）-2（ax+by）≥0

即（a-x）2+（b-y）2≥0

因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

證法3（綜合法）：因為ax≤a2+x22，by≤b2+y22

所以ax+by≤a2+x22+b2+y22=1

即ax+by≤1

證法4（三角換元法）：因為a2+b2=1，x2+y2=1

所以可設a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ

所以ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤1

證法5（數形結合法）：因為直線l：ax+by=0經過圓 x2+y2=1的圓心O，所以圓上任意一點M（x，y）到直線ax+by=0的距離都小于1或等于圓半徑1。

即d=|ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1

說明：在解答題目時讓學生經常地尋找多種解題方法，可以讓學生更好地對不同的知識點找到它們的聯系，更有助于學生思維靈活性的訓練。當然，要發現不同的解題方法對學生是一個難點，這需要在平時的解題中經常有意識地訓練。同時，還要注意不同解題方法的使用條件。

總之，教師在平時的數學教學中應重視對學生解題思維的培養，啟發學生，提高學生主動思維的積極性，讓學生自主地學習、思考、觀察，從書本到生活，訓練學生的創造性思維，全面提高學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1]楊菁.高中數學“一題多解”的案例分析[J].理科考試研究（高中版），2015，07.

[2]武秀琴.高考筆記高考沖刺總復習：數學[M].山西教育出版社，2007.

作者簡介：

陳麗英，福建省漳州市華安縣第一中學。endprint