如何通過邏輯推理提高高中立體幾何解題能力

摘要：立體幾何在高考中是很重要的一部分，在選擇題、填空題以及解答題中都有考查，總分達(dá)到了27分左右。選擇和填空題型主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力，而解答題則側(cè)重考查立體幾何中的邏輯推理問題，這是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。本文主要探究了教師如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯推理，借助空間想象來思考和分析，逐步掌握解題方法，形成自己的邏輯思維，進(jìn)而順利地完成解題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；立體幾何；邏輯推理；解題能力

隨著新課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何的考查更加注重對學(xué)生思維能力的考查，需要學(xué)生在解決問題過程中進(jìn)行邏輯推理和分析判斷，在探究中明確線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，清楚空間角、面積與體積的計(jì)算問題。學(xué)生在解決問題時(shí)需要在大腦中建構(gòu)一個(gè)立體圖形，培養(yǎng)自己的立體感，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行想象和推理，明確各種數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的程度。如果學(xué)生的想象能力不好，立體感不強(qiáng)就不能很好地利用幾何語言去進(jìn)行分析和推理，教師要善于通過想象的方式來幫助學(xué)生學(xué)會(huì)推理和邏輯分析，實(shí)現(xiàn)立體幾何解題能力的提高。

一、 推理想象綜合考慮三視圖，準(zhǔn)確識(shí)圖

三視圖是立體幾何中的一種常見圖形，學(xué)生需要具有一定的想象能力和邏輯分析能力去探究三視圖的構(gòu)成和各種數(shù)量關(guān)系。學(xué)生要明確三視圖是從不同角度對圖形進(jìn)行的觀察和分析，需要學(xué)生從正視、側(cè)視、俯視三個(gè)角度來對圖形進(jìn)行分析和判斷。在分析中需要對各個(gè)角度的圖形進(jìn)行邏輯思考和推理判斷，明確各種數(shù)量關(guān)系和圖形構(gòu)成。在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)三視圖的規(guī)則：空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線，進(jìn)行認(rèn)真分析和邏輯推理，實(shí)現(xiàn)正確的識(shí)圖，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析和探究。學(xué)生還要認(rèn)識(shí)到在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)一般以正視圖和俯視圖為主。同時(shí)還需要從三個(gè)視圖綜合考慮，全面分析，實(shí)現(xiàn)對三視圖的全面理解和客觀認(rèn)識(shí)，提高自己的邏輯推理能力，達(dá)到更好地解決實(shí)際問題。

二、 推理思考線面位置的關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)

在立體幾何中，線面的位置關(guān)系是學(xué)生經(jīng)常需要推理和判斷的問題。在解決這類問題時(shí)，學(xué)生首先需要明確線面主要有平行和垂直兩種位置關(guān)系。在判斷線面平行問題時(shí)，主要涉及了線面平行、面面平行、線線平行三種關(guān)系；而判斷線面垂直的位置關(guān)系時(shí)則主要涉及了線面垂直、面面垂直和線線垂直的位置關(guān)系。學(xué)生需要在解決問題的過程中進(jìn)行認(rèn)真推理和邏輯分析，準(zhǔn)確地把握線面之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理分析，邏輯思考，準(zhǔn)確把握位置關(guān)系。

在證明空間線面位置關(guān)系時(shí)主要采用的就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想，學(xué)生在推理判斷過程中一定要善于利用這種數(shù)學(xué)思想分析和判斷，實(shí)現(xiàn)學(xué)生進(jìn)行正確地解題和思考。在推理判斷中，學(xué)生需要根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，每一個(gè)推理步驟都要做到有據(jù)可依。例如在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)。求證：（1）EF∥平面ABC1D1；（2）EF⊥B1C。解答問題過程中，學(xué)生首先可以連接BD1，如圖所示。在△DD1B中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)，則EF∥D1B；根據(jù)D1B平面ABC1D1；EF平面ABC1D1所以可以推論出EF∥平面ABC1D1。在證明第二問的時(shí)候，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)到ABCD-A1B1C1D1為正方體，所以AB⊥面BCC1B1所以可以推論出B1C⊥AB。根據(jù)這個(gè)條件，同時(shí)還有B1C⊥BC1；AB，BC1平面ABC1D1；AB∩BC1=B這幾個(gè)條件，可以推論出B1C⊥平面ABC1D1；再根據(jù)BD1平面ABC1D1；推論出B1C⊥BD1；再根據(jù)EF∥D1B就可以推論出EF⊥B1C。在解決第二問的時(shí)候，學(xué)生在邏輯分析和推理判斷過程中要認(rèn)識(shí)到，這道題主要需要證明的就是線線垂直。但是在分析問題時(shí)不能只局限在線上，學(xué)生需要借助立體圖形中的線面關(guān)系、面面關(guān)系以及線線關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化和推理，最終把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上，或者是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的。但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的推理和判斷中，學(xué)生會(huì)實(shí)現(xiàn)把數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到最終目的。學(xué)生在推理過程中一定要注意推理嚴(yán)謹(jǐn)，有理有據(jù)。在使用某一個(gè)定理的時(shí)候一定要找到足夠的條件，科學(xué)地進(jìn)行推理和判斷，展現(xiàn)自己的邏輯思考能力和判斷能力，實(shí)現(xiàn)把問題順利地解決。

三、 推理明確空間角向量夾角，避免混淆

學(xué)生在立體幾何解題過程的推理和分析要關(guān)注空間角與向量夾角的不同，明確區(qū)別，避免混淆，確保自己能正確解答問題。推理過程中學(xué)生很容易將兩者混為一談，從而弄錯(cuò)解題過程，出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生的推理一定要細(xì)致，明確空間角與向量夾角的不同。空間中角的向量求法是立體幾何中的重點(diǎn)，學(xué)生借助向量的夾角公式可以很方便地避開尋找角的過程，之后通過對向量夾角的計(jì)算來實(shí)現(xiàn)。在推理過程中，夾角公式是學(xué)生需要掌握的，還需要關(guān)注已知條件之間的關(guān)系，通過認(rèn)真思考和仔細(xì)推理來實(shí)現(xiàn)代換和計(jì)算，完成解答過程。空間向量在解決異面直線所成角的計(jì)算時(shí)，要先建立空間直角坐標(biāo)系，然后將兩個(gè)向量的坐標(biāo)帶入夾角公式中計(jì)算，特別要注意向量夾角的范圍，取值要取正值。為了避免學(xué)生的失誤，學(xué)生在解題過程中一定要認(rèn)真理解空間角與向量所成角是兩個(gè)不同的概念，在推理和判斷的過程中明確他們的區(qū)別，進(jìn)行認(rèn)真地推理和分析，確保解題的順利進(jìn)行和對解題方法的掌握。

總之，立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生立體感和想象能力的有效方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)科學(xué)分析，邏輯判斷，做到推理嚴(yán)密，正確解答問題。通過學(xué)生對立體幾何的分析和判斷，學(xué)生在邏輯推理中會(huì)不斷地明確各種數(shù)量關(guān)系，在大腦中建構(gòu)出一個(gè)立體形象的圖形框架，進(jìn)而更好地探究知識(shí)，解決問題，形成自己的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)順利地解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋恩莉.證明線段相等的常用方法[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2015，01.

[2]殷彩蓮.巧用二項(xiàng)式定理[J].考試（教研版），2016，01.

作者簡介：

桑迪，陜西省西安市，陜西銀行學(xué)校。endprint