高中數學教學中的三角函數變換分析

宋海峰

摘要：三角函數作為高中數學的主要內容，也是高考的重點內容之一，約占高考數學總分的15%左右。而三角函數因其靈活多變使得學生掌握起來難度較大，因此，掌握三角函數變換的一些基本規律。高中數學三角函數因其變換的種類較多、方法靈活多樣，要想完全掌握具有一定的難度。但是其基本規律卻相對固定，因而，掌握三角函數變換的基本規律并與實際運用相結合，對三角函數的教與學具有重要意義。本文主要對高中數學中三角函數的變換常見類型以及其相應的幾種解題方法進行了初步分析，以期為高中數學三角函數的教與學提供參考。

關鍵詞：高中數學；三角函數變換；解題方法

三角函數作為高中數學的主要內容，也是高考的重點內容之一，約占高考數學總分的15%左右。而三角函數因其靈活多變使得學生掌握起來難度較大，因此，掌握三角函數變換的一些基本規律，在遇到較為復雜的題型時，則可選用適當的基本公式及解題方式，將難度較高題型較為復雜的題目轉換成較為簡易的基礎題型，促使其合理轉化，提高解題的正確率。

一、三角函數變換常見類型分析

（一）“角”度的變換

在進行三角函數變換相關的解題過程中，其角度的變換通常表現為對差角、和角、倍角、半角、余角、補角以及湊角等多種角的相互轉換，在解題過程中，角度的變換主要起紐帶作用。隨著函數角度的不斷變換，其相應的運算符號、次數、名稱等都會隨之而發生變化。在三角函數題型的求解過程中，因為其表達式經常會出現很多相異的角，這就要求我們應根據角度之間的和、差、半、倍、補、湊、余等關系，使用“已知角”來表示一些“未知角”，而后再進行數學運算，通過角的變換，使問題能夠得以簡化，進而順利求解。

（二）函數名稱的變換

在三角函數名稱的變換中，切割化弦最為常見，通常情況下我們會選擇從化形式或者化函數入手。正弦、余弦是三角函數的基礎，因而其應用也最為廣泛，正切次之。一般來說，在對三角函數問題進行求解時，經常會出現很多不同名稱的三角函數，這就要求我們將這些不同名的三角函數變換成同名三角函數，將其轉換到同一類型函數有利于函數的求解，較為常用的兩種方法為“切割化弦”和“齊次弦代切”。

（三）“形”的變換

在三角函數的證明、化簡或求值等運算過程中，為簡化其運算，有時會將一些常數比如1，等轉換成相應的三角函數形式，而后運用相關的三角函數公式求解。這些常數中，對“1”的轉換與利用最為普遍。在對三角函數進行變換時，應遵循從繁到簡、從簡入易這一規律，只有遵循這一規律，我們在繁多的三角函數公式中才能迅速、準確地找出合適的解題思路，進而明確解題目標，達到順利解題的最終目的。

例如2009年高考數學題：已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）

分析：利用題中已知條件，我們可以發現這道題考察的是“弦化切”的相關知識，因此，可利用題目中給出的整式中其分母為“1”這一條件，將常數“1”轉化成sin2α+cos2α，將求解問題由復雜轉換成簡易，進而順利解題。

二、高中數學三角函數變換幾種較為常見的解題方法分析

（一）“切函數”和“弦函數”之間的相互轉換

“切函數”和“弦函數”這兩者之間的轉換是我們在對三角函數問題進行求解時經常使用的兩種進行函數變換的基本方法。如果在三角函數式中存在正切函數，那么學生在解題時，則可對三角函數的基本關系加以利用，將“弦函數”轉換成“切函數”或將“切函數”轉換成“弦函數”的方式來完成對題目的簡化、證明、求值等運算。

（二）角的等量轉換

在三角函數的求解過程中，應當重點注意題目中已知角與所求解的角之間的關系，可適當使用拼角、拆角等技巧，比如α=（α+β）-β= =β-（β-α）；2β（α+β）-（α-β）等都是對拼角、湊角等三角函數解題技巧的靈活運用。

（三）公式的逆用及變用

在三角函數的求解過程中，經常會發現有些題目要求我們對公式進行逆用或者相應地轉變，對題目的求解往往由復雜變為簡易。但是，很多學生對公式的變通未能熟練掌握，極易出現失誤。因此，學生對2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x等此類三角函數公式應當熟練掌握，以提高解題效率。

（四）輔助角公式的引入

引入輔助角公式指的是在三角函數的變換過程中，對兩角及其相同兩角之間正弦或余弦公式進行形式的變換，此方法是求解三角函數的周期、單調區間等值的極為有效的一種解題手段。

正如三角函數式中我們將αsinα+bcosα變換成 sin（α+φ）這種形式，在這一三角函數式中φ就是所謂的輔助角，其角的大小是由tanφ來確定。

三、總結

高中數學三角函數因其變換的種類較多、方法靈活多樣，要想完全掌握具有一定的難度。但是其基本規律卻相對固定，因而，掌握三角函數變換的基本規律并與實際運用相結合，對三角函數的教與學具有重要意義。在高中數學的三角函數中，無論是對其進行化簡、證明抑或是求值，其求解的過程均是由繁入簡、由難到易、由已知向未知轉化的一個過程。因此，掌握其基本規律，適當運用相關解題技巧，如弦、切函數的相互轉換；不同名函數化同名；切割化弦；公式逆用以及輔助角公式的運用等，通過進行轉換找出其差異與共同點，減少函數類型，減低題目難度，從而達到對三角函數問題順利求解的目的。endprint