由一道易錯題引起的教學反思

劉羅敏

【摘要】函數的單調性是函數的基本性質之一，對單調性的考查貫穿了整個高中數學.教師要經常進行教學反思，及時處理學生的反饋，訂正教學設計，使教學更有預見性、針對性.

【關鍵詞】單調性；學生反饋；教學反思

在我校高一年級期末考試中，出現了一道數學選擇題，據統計，這道題整個高一年級（約1 200名學生）的正確率僅為1.3%！這觸目驚心的數字帶給我們的不應該是對學生的責備，而是教師對自己教學的反思.

易錯題若f（x）=（6-a）x-4a，x<1，logax，x≥1 是R上的增函數，則a的取值范圍是（）.

A.65，6

B.65，6

C.（1，6）

D.（6，+∞）

這道題看似簡單，實則極容易出錯.筆者參加工作已有數年時間，回想起當時高一的教學情境，總結出該題錯誤率如此高的原因：

（1）我校是云南升縣區的一所一級三等高中，高一新生大部分文化成績并不突出，基礎不扎實，沒有良好的學習習慣，思維水平、理解能力還停留在初中的階段，還未適應高中繁重、高難度高的學習.

（2）“單調性”對于高一學生來說本就是一個陌生的、抽象的概念，教材把“單調性”的教學設置在必修1第一章第3節（人教A版）.在這之前，學生接觸過的高中知識僅有“集合”“函數及其表示”，理解不了“單調性”很正常.

（3）教師對“單調性”這一新概念的教學不到位，只是照本宣科，沒有預見到學生在這一知識點可能會出現的問題，從而有針對性地進行教學.

（4）教師沒有對基本初等函數的性質進行總結.教材必修1上所列的基本初等函數只有指、對、冪三種函數，很多學生誤以為基本初等函數只有這3個，遇到其他函數就無從下手.

（5）學生的知識儲備不夠.如何用不等式來表示函數的單調性？如何求不等式的公共解？如何把不等式表示成區間？每個知識點都環環相扣、缺一不可.

這道易錯題其實是一個很好的反饋，是一個高價值題目.下面給出筆者對這道題的利用（實為錯題后的一次總結課）.

一、對已學基本初等函數及其單調性的總結（表格由學生填寫）

函數解析式圖像影響單調性的因素

一次函數

反比例函數

二次函數

指數函數

對數函數

冪函數

二、對“函數單調性”的再理解

單調性的概念（略）對于高一新生來說，非常難理解，這就要求教師能夠具體化、有預見性、針對性地解釋這個概念.

（一）關于概念中關鍵字的幾點理解

增函數：增區間上所有的自變量都有x1

減函數：減區間上所有的自變量都有x1f（x2），即自變量增加其函數值反而減小，自變量減小其函數值反而增加，自變量的變化趨勢與其函數值的變化趨勢相反.

簡言之，同步增，反步減.

（二）單調性在圖像上的體現

根據上述理解，將單調性反映在圖像上一定有如下規律：增函數的圖像從左到右一直是上升的，減函數的圖像從左到右一直是下降的.

（三）關于分段函數的單調性

分段函數也是函數的一種，它的單調性同樣遵循上述原則.

為了更形象地理解分段函數的單調性，設置如下例題.

例請同學們分析下列分段函數的單調性.

（1）

（2）

（3）

（在這個例子中，學生的答案會是個很好的反饋，分析過程略.）

（四）現在來解決本文開始給出的易錯題

若要f（x）在R上單調遞增，顯然各段都要遞增.是否還有其他限制？

因為y=logax（x≥1）恒過（1，0），f（x）的圖像有①②③三種情況，只有②③兩種才符合f（x）的圖像從左至右一直上升.要怎樣用數學式子表示②③兩種情況？

事實上，只要y=（6-a）x-4a（x<1）在x=1的函數值小于等于y=logax（x≥1）在x=1的函數值即可.

滿足題意的不等式組為6-a>0，a>1，（6-a）×1≤loga1，

解得65≤a<6，表示成區間為65，6.

教學從來都不是一蹴而就的事情，必須反復反思、訂正、完善，才能事半功倍.須知，教師的“教”不是一件簡單的事，學生的“學”也不是一件難事.只要教師“萬事俱備”，學生才能“扶搖而上”！