巧用“三步法”解決充分必要條件問題

侯鐵民

【關鍵詞】 數學教學；充分必要條件問題；“三步法”；解決

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2018）24—0126—01

充分必要條件是人教版高中數學選修1-1的內容，以選擇題或填空題為主要題型，一般為容易題或中等題，是高考的高頻考點，筆者根據多年的教學經驗，做如下總結，以饗讀者.

教材中這樣定義：

如果A成立，那么B成立，即A？圯B，就稱條件A是B成立的充分條件.也就是說，為使B成立，具備條件A就足夠了.

如果B成立，那么A成立，即B？圯A，就稱條件A是B成立的必要條件.也就是說，要使B成立，就必須使A成立.

如果既有A？圯B，又有B？圯A，就稱A是B成立的充分而且必要條件，簡稱充要條件.

如果既有A B，又有B A，就稱A是B成立的既不充分也不必要條件.

在教學中我們發現，學生對概念的理解還存在著很大的問題，特別是在利用上述知識解決具體問題時還不能應用自如.鑒于此，筆者探索出了如下的“三步法”判斷充要條件問題，取得了較好的教學效果.

第一步：先找出命題的條件和結論.

第一類：條件前置式.如“A>B”是“sinA>sinB”成立的 條件，這里面條件是“A>B”，結論是“sinA>sinB”；

再如，設a、b∈R，則“a>b”是“a>|b|”的（ ）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件，這里條件是“a>b”，結論是“a>|b|”.

第二類：條件后置式.如，“數列an=aqn為遞增數列”的一個充分不必要條件是（ ）

A.a<0，q<1 B.a<0，q<0 C.a>0，q>0 D. a<0，0

這里條件是選項之一，結論是數列為an=aqn遞增數列；

再如，設a∈R，則使“a3>1”成立的必要不充分條件是

（ ）

A.a2>1 B.a2>2 C.a2>3 D.a2>4

這里，條件是選項之一，結論是“a3>1”.

第二步：判斷條件推出結論還是結論推出條件.切入點是引導學生領會小范圍推出大范圍的數學思想.這很好理解，如，我是中國人，但中國人不一定就是我.如x>2可以推出x>1，但反之就推不出.

第三步：如果條件推出結論，但結論推不出條件，條件就是結論的充分而不必要條件；如果條件推不出結論，但結論能推出條件，條件就是結論的必要而不充分條件；如果條件能推出結論，結論也能推出條件，條件就是結論的充要條件；如果條件推不出結論，結論也推不出條件，條件就是結論的既充分也不必要條件.

以下以高考真題說明上述“三步法”的具體應用.

例 （2016·安徽毛坦廠中學月考）若集合A={x|x2-5x+4<0}，B={x||x-a|<1}，則“a∈（2，3）”是“B？哿A”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：A={x|1

∵B？哿A，∴即2≤a≤3.

（注：本文系課題《家校聯合促進高中生感恩教育的實踐研究》的研究成果，課題立項號：GS[2018]GHB2091）

編輯：謝穎麗