為學生主動探究搭建階梯

于慶

摘 要：隨著新課程改革的深入實施，探究式的教學方式越來越成為高中數學教學的最佳方式。那么，如何在高中數學課堂上引導學生主動探究呢？文章以《點到直線的距離》為例，結合課堂教學實踐，就如何科學設置階梯，提升學生的探究能力，有效實施數學探究談談自己的思考與教法。

關鍵詞：高中數學;探究教學;課堂教學實踐

中圖分類號：G633.6

文獻標識碼：A

隨著高中數學教育改革的不斷深入，探究式的教學方式成為數學課堂教學的最佳方式。探究式教學是指以探究為主要活動形式的教學，高中數學探究式教學是在教師主導下，學生采用自主探究、合作學習的方式探求數學結論，歸納出數學規律，最后教師再設置具體的問題情境，引導學生在解決具體的問題的過程中完成知識的內化與鞏固[1]。

與傳統教學相比，探究式教學耗時耗力，但是，正如艾倫·科林斯所說：“讓學生探究的教學，是一種費時的教學，但如果我們的目標是培養學生創造性地解決問題和發現理論，那么這是我們所擁有的唯一方法。”[2]由此可見，雖然探究式教學應用于實際課堂教學時，可能會浪費很多課堂時間，達不到教師預想的教學效果，導致課堂教學任務無法完成，但是磨刀不誤砍柴工，學生數學素養的全面提升必然體現在創造性思維和自主探究能力的培養和提高上，因此，數學教師十分有必要在課堂教學中努力實踐探究式教學模式。

探究式教學要求教師在時間分配、語言引導等方面精準把握，這就需要教師在教學實踐中不斷提升自己的教學技能，豐富相關的知識儲備[3]，思考并創造具有教學價值的適于數學課堂探究的問題，豐富自己的數學課堂教學經驗。本文以《點到直線的距離》為例，結合本人的教學實踐探索，談一談如何在引導學生探究的過程中為學生科學設置階梯，讓學生主動進行探究，發展學生的探究技能與探究能力，提升探究性課堂教學的有效性[4]。

《點到直線的距離》是人教版數學必修2第3.3.3節，主要內容是點到直線的距離公式的推導以及公式的應用。本節內容在解析幾何中具有十分重要的意義與地位，是培養學生的計算能力和邏輯思維能力的重要內容。在此之前，學生已經學習了直線方程和兩點間的距離公式，會求兩直線的交點坐標，等等。本節課的難點和重點是公式的推導，而推導方法是豐富多彩的，其蘊含的思想也是深刻的，教材中提供了兩種推導公式的思路，如何在一節課中讓學生既能了解這兩種推導方法，又能領悟其中的思想呢？

我將以“教師為主導，學生為主體”，采用“師生互動”為基礎的“類比探究式課堂教學模式”，從學生熟悉的生活情境導入，按照從具體到抽象、從特殊到一般的思維方式，引導學生探索點到直線距離的求法。同時，要求學生課前利用課本和網絡資源自主預習，課上學生自主合作交流，共同探討對比兩種推導方法的異同，體會思路一雖然易想但是難求，思路二過程復雜但是更易操作。如此一來，學生不但深刻記住了點到直線的距離公式，并且親自體驗了優化公式推導思路的意義，從而進一步認同了數形結合思想，并提高了轉化、分析和解決問題的能力。

一、情境引入

（1）生活情境：如果你家住在一條筆直的小河邊，你要去河邊打水，從你家到河邊的最短路程是多少？

（2）問題導學：①什么是點到直線的距離？②如何求點到直線的距離？③你能想到幾種不同的方法？

施教之功，貴在引導，妙在開竅，教師要引導學生發現學習情境中的數學問題，促使學生自主學習相關的數學知識[5]。我從生活中的實例導入是為了挖掘數學學習中生活層面的特征[6]，課堂情境的巧妙創設能吸引學生的注意力，借此有效激發學生主動探究的意愿，拉近數學與生活的距離，讓學生體會數學與生活的聯系。先是生活情境，然后是問題導學，這是為了明確點到直線的距離的概念，用問題引領學生積極思考。

二、特例探究

問題1：求點P（1，2）到直線l：x-y-2=0的距離。

此處我先設計一道特例探究的題目，正是考慮到學生由易到難、從具體到抽象、由特殊到一般的思維習慣，更加符合學生的認知規律。避免直接給出含有字母的任意點的坐標和直線的一般式方程，讓學生一時無從下手，這樣只會打擊學生探究數學新知識的積極性。因此，我先給出問題1，并讓學生充分表達自己的解題思路。設計問題1的目的一是讓學生鞏固已學的知識和方法，二是為后面的公式推導作鋪墊。

預設學生能說出思路一：先求過點P的l的垂線l'的方程;再聯立l、l'求交點即垂足Q的坐標，最后用兩點間的距離公式求出│PQ│。這種解決問題的方法相信學生稍加思考就能馬上說出來，學生說出思路以后，教師可以先和學生一起呈現解題的流程圖，并及時予以解題思路簡單自然的評價，然后讓學生動手完成具體的計算。思路一的優點是簡單清晰，缺點是運算量大，大在求交點上。這里讓學生實踐自己的想法，有兩個目的，一是讓學生進一步熟悉解析法的計算過程，二是更多的學生在較短時間內很難得到正確的答案，讓學生在具體計算的過程中自己發現這種解法的缺陷，激起學生尋求其他更優解法的欲望，進一步思考如何化繁為簡。我繼續引導學生探求其他解法，逐步提問，層層深入。在探究教學中，教師要優化引導方法，促使學生主動探究數學知識，從而提高教學效率[7]。

思路二：等面積法。

（1）必須求點Q的坐標嗎？

（2）還有其他求線段PQ長度的方法嗎？（引導學生想到構造直角三角形）

（3）直角三角形如何構造最簡單？

教師的恰當指導與介入為學生主動探究鋪設臺階，通過三個層次的問題促使學生進行深入探究。在實際課堂教學中，學生可能會提出多種構造方法，教師應鼓勵學生積極表達自己的觀點，同時引導學生思考不同構造方法的優缺點，也可留作課后思考，布置研究性作業，具體視課堂情況靈活處理。本節課只對等面積法重點分析，它的缺點是思考較難，優點是容易求交點，運算簡潔。

三、類比推導

問題2：求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離。

在解決特例問題1的基礎上，自然而然提出問題2，將點和直線的距離從特殊推廣到一般情況，并引導學生用等面積法進行推導，同樣的，教師一定要引導學生理清等面積法推導點到直線的距離的算法思路，然后師生合作用算法圖把思路寫出來，滲透算法思想。最后，再由學生自己寫出點到直線的距離公式的詳細證明過程，這樣能夠有效培養和提高學生的推理和論證能力。

四、應用提高

學生初步應用公式解決例1：求點P（-1，2）到直線l：3x=2的距離。

在此，要求學生再利用推導出的公式直接計算問題1，是為了與之前的計算過程和結果進行比較，優劣立現。當然不要忘記檢驗當A=0或B=0時公式仍適用，進而擴大公式的應用范圍。還要讓學生進一步思考：當A=0或B=0，還可以怎樣求點到直線的距離？通過實例討論A=0或B=0時公式成立，“直線特殊時，圖像是良方”，還可以畫圖求解。接著師生共同總結出：

（1）公式的結構特征：①公式是個怎樣的運算形式？②分子是什么？③分母是什么？

（2）公式的適用范圍：①公式對于任意點P（包括P在直線上）和任意直線都適用。當A=0或B=0時，公式仍成立，具體計算時用圖形直接求解更簡單。

（3）公式的使用前提：先將直線化為一般式方程。

（4）公式的方程觀點：公式可理解為是含有6個量的方程，可以知五求一。

最后，進行深度研討解決例2：已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求ΔABC的面積。從而鞏固點到直線的距離公式，體會數形結合思想。

五、目標反饋

組織和指導學生歸納知識、技能、方法的一般規律，深化對數學思想方法的認識，為后續學習點到直線的距離公式、等面積法的算法框圖、等面積法推導點到直線的距離公式的思想方法打好基礎。

六、布置作業

課后作業分為必做題和探究題，嘗試推導兩條平行直線的距離公式。

最后是板書設計：

課題：點到直線的距離

1.問題1：求點P（1，2）到直線l：x-y-2=0的距離。

問題2：求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離。

等面積法的推導過程

2.點到直線的距離公式

典型例題

例1：（略）。

例2：（略）。

七、結語

本節課的教學設計充分體現了以學生為主體的教學理念。在教學過程中，我努力創設一個探索數學的學習環境，為學生主動探究科學設置合理的階梯，讓學生在自主探究的過程中，親身經歷數學公式的思考和推導過程，深入體會其中蘊含的數學思想，進而提高自身的探究能力。

參考文獻：

[1][3]繆澤娟.高中數學探究式教學的內涵及實踐研究[J].數學教學通訊， 2017（12）：54-55.

[2]李玉榮. 把握尺度謹防“滑過”——以韋達定理的教學為例[J].中小學數學（初中版），2015（1）：7-8.

[4][6]朱建霞.高中數學探究型教學的著力點分析[J].數學教學通訊， 2017（15）：44-45.

[5][7]邵 詠.高中數學探究教學策略[J].中學生數理化（教與學）， 2017（2）：52.