高中數學應用問題的教學

李富榮

摘 要：高中新課改發展到今天，在數學課程改革的各個方面，都取得了顯著成果。在高中數學應用題教學方面，筆者同事不僅就新教材做了深入研究，而且就應用題教學做了不少實踐性探索。高中數學應用問題離不開生活化背景，從培養興趣入手，順應時代對學生數學素養的要求，我們進行了理論研究和實踐探索。瞄準高中學生思維特點，加強數學應用意識，提升數學應用能力，都要從課堂發力。

關鍵詞：數學課程 應用意識 實踐能力

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）12（c）-0225-02

許多人認為，數學是側重于抽象思維的，屬于高度抽象的學科，但這并不排斥數學與實際生活的緊密聯系，恰恰相反，數學本身正是實際應用的需要才促其產生發展走到今天，并不斷豐富其理論和方法。因此數學教育工作者必須研究數學教學生活化的方法，使學生的數學學習充滿生活情趣，這樣更有助于興趣培養。

本文就自己在高中數學應用問題教學方面的體會和看法，結合案例，談一些粗淺的認識，以資交流。培養和提高中學生的數學應用意識，使學生能夠提出、分析和解決有實際意義的數學問題，準確而靈活地運用數學語言研究和表述問題，是中學數學教育教學的核心要求。在中學數學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養，加大應用問題的教學力度。

1 高中數學新教材中的應用問題的編排

課改前，我們的教學，勿庸諱言，對學生所學數學知識的發生、發展過程、問題探究背景比較粗放和輕視。基于此，新教材對這一方面做了大的調整，注入了新鮮的有實踐性的和可操作性的數學素材。從而將應用意識滲透在教學的各個方面。

（1）課本習題中加大了應用問題的比重。為使同學們加深對所學內容的理解，循序漸近地提升自身分析能力，新課程中大幅提升了應用題比重，其中節后練習47題，占比為13%；習題有93題，占比17%，復習題約有48題，占比15%，分別涉及生物、銀行、經濟等諸多方面。涵蓋了行程問題、增長率、儲蓄等各類問題。類型多樣，趣味興較強，融知識性、實踐性于一爐。

（2）附加了閱讀了解內容。所選問題蘊含了深刻的數學思想，緊密聯系中學生活，用于開闊視野的題材，共安排了13個之多；其中略舉幾例。

①數學史方面，如第2單元《函數》的“對數與指數發展史”第5單元《平面向量》“人們早期怎樣測量地球半徑？”

②介紹生產、生活中的應用方面，如第8單元《圓錐曲線的光學性質及應用》，第10單元《抽簽有先后對各人公平嗎？》

③擴充知識方面：2-2第3章中簡介了數系發展擴充的背景。

（3）章頭序言內容獨具匠心，突出知識的實際背景，比如在《導數》一章的引言中簡介了導數實際是物理學和幾何數的發展，迫切需要數學從理論層面將變化率一類徹底解決。

（4）研究“概念問題”時以生產生活實例引入課題，如分段函數以郵資問題引入、向量數量積概念用功和位移關系引入等，不一而足。

2 高中數學應用題問題的教學實踐與案例分析

案例一

問題：在防疫檢疫過程中，已知5只兔子中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物。血液化驗結果呈陽性即為患病，呈陰性即沒患病，下面是兩種化驗方法。

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病兔子為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗，若呈陽性則表明患病動物為3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病兔子為止。若結果呈陽性，則在另外兩只中任取1只化驗。

（1）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率。

（2）ξ表示依方案乙所需化驗次數。求ξ的期望。

[教師引導]方案甲所需化驗次數可能取值為1、2、3、4，方案乙的可能次數為2、3，故直接考慮，情況較多，不妨研究甲方案次數少于乙方案次數這一對立情況。

若記方案乙所需的化驗次數為Di（i=2、3）i=3表示從5只任選3只后，第2、3次化驗均得陰性，其實只考慮第2次檢驗結果為陽性，故。

解：記C1、C2分別表示依方案甲化驗1次、2次；D2、D3分別表示依案乙所需化驗次數為2次、3次；C表示依案甲的化驗次數不少于方案乙所需化驗次數，并且C2與D3獨立。

（1）

（2）ξ的可能取值為2、3

本例作為高中數學應用問題經典，聯系生物檢疫實際，讓學生深入研究隨機事件發生的可能情況和概率值。要考慮明白，必須將整個檢疫過程形成模型，將各種可能發生的情況通盤考慮，并選擇簡潔解法。既要有數學思維的慎密，又要有處理實際問題的建模能力。

案例二：學習“分期付款”問題的研究性課題。

對大多數顧客而言，一次性支付大額售價的物品時困難大，另一方面商鋪也不斷改進促銷方式，方便顧客。對它的探究會引起同學們非常高的興趣。應突出以探索發現為主，點拔介紹為輔之方略。

第一階段：學生研讀教材方案表，明確毎一付款方案的次數方式。

第二階段：指導同學們研究方案（二）即分6次付清，購買后第2個月第一次付款，再過2個月第2次支付……購買后12個月第6次付款，月利率為0.8%，毎月利息按復利計算。

先讓學生試做，不必指出對錯，只需大家研判兩種方式對誰有利。結果可知均不符合買賣公平原則。

此時，教師指出分期付款的條件，將原題問題分解：

（1）從商品出售到貨款全部付清時增值多少？

（2）各期付款額到貨款全部付清時分別增值到多少？

（3）利用出售時的有關流程規定列出方程，最后：由學生分組交流，選擇最優方案得出一般結論。

利用這種教師引導下的學生自主探究方案來學習數學應用的問題，效果倍佳。

3 對高中數學應用問題的教學建議

在數學應用問題的教學和對學生學習的指導中，應重視介紹數學知識的產生發展過程。

一般情況下，數學知識的產生不外乎實際的需要和數學內部的需要，高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多的數學知識都有具體直接的應用，如高二運用不等式的性質計算最值、線性規劃、高三的概率統計等。應該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎上讓學生感受和體驗數學的應用價值。數學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現象，讓學生養成樂意運用數學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應用數學的意識，也可以提高學生運用數學的能力。

4 結語

應用是數學發端的源動力，也是數學教學的落腳點。身為高中數學教師，只要在應用理念指引下，踐行生活化行為，并通過科學有效手段，將高中數學與生活實際有機結合，就一定能和學生一道收獲數學學習的甜美果實。

參考文獻

[1] 人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 范建中.微格教學教程[M].北京.北京師范大學出版社，2010.

[3] 高春霞，王培光，婁建忠.關于工科數學教學的思考與探索[J].教育與職業，2010（12）：109-110.