滲透數學文化落實核心素養

廖克杰

[摘要]數學課程標準對數學文化融入課程內容有了明確的要求，數學文化體現了數學的價值觀念、行為方式和思維方式，對學生數學核心素養的培養發揮重要作用.數學教師在日常教學中應發揮數學文化的育人功能，想方設法讓學生感受數學文化的熏陶，進而落實核心素養的培養.

[關鍵詞]數學文化；核心素養；導數的概念

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05000703

《普通高中數學課程標準》中指出：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中.”在《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中對數學學科明確提出了增加數學文化內容的考查，把數學文化在高中數學教學的要求提升到了一個新的高度.

如何在日常教學中發揮數學文化的育人功能，讓學生感受數學文化的熏陶，進而落實核心素養的培養呢？下面筆者以《導數的概念》教學為例，談談自己的認識與實踐.

一、情境引入，呈現經典例證

導數是由平均變化率衍生出來，由速度問題抽象而來的數學概念.從一段我國運動員奧運會奪冠的視頻引出數學問題，使

學生的愛國情懷

在充滿正能量的情境中得以激發.

接著，就以下兩個問題與學生進行交流.

問題1：運動員在起跳瞬間有沒有速度？在落水瞬間有沒有速度？在物理學上，此時的速度叫作什么速度？

（教師投影截取的運動員在2秒時刻所在的大致位置.）

問題2：2秒時刻運動員有瞬時速度嗎？在這一時刻運動員是運動的嗎？

大部分學生認為，運動員從起跳到落水的整個過程中都是運動的，因此在2秒時刻有瞬時速度；也有學生認為，在2秒那一刻運動員占據了一定的空間位置，在這一瞬間是靜止的，沒有瞬時速度.學生的思維與原有認知發生沖突，此時教師介紹芝諾“飛矢不動”的詭論，從數學概念的嚴謹性上給出了物體動或不動的定義，這是涉及兩個時刻的概念.

[設計意圖]展示數學的發展歷程，暴露數學家的思維過程，讓學生感受數學的嚴謹性，體驗數學家追求真理的科研精神，培養學生思維的深刻性和批判性.

問題3：物體動就產生了速度，速度是涉及兩個時刻的概念，利用這一想法來求t=2s時刻的瞬時速度可行嗎？

對于問題3，多數學生會想到利用求平均速度的方法來求t=2s時刻的瞬時速度，這是本節知識的切入點，也是培養學生邏輯推理思維和創新能力的關鍵點.

二、抽象模型，滲透極限思想

微積分的核心概念是導數，而理解導數就必須要有極限的思想.筆者通過圖形和代數兩個角度讓學生直觀感受平均速度無限趨近瞬時速度的變化過程，從形與數的表征揭示極限思想的本質，對學生極限思維的建立有積極的促進效果.

教師引導學生抽象出如下模型：

在t=2s這一瞬間，時間變化量都為0，從而路程變化量也為0，再用時間變化量除路程變化量會沒有意義，而此刻瞬時速度是存在的.利用“速度是涉及兩個時刻的概念”這一思想，得出在t=2的附近再取一個時刻t=2+Δt，計算區間[2，2+Δt]（Δt>0）（Δt<0時為[2+Δt，2]）內的平均速度，讓Δt趨向于無窮小時，得到的值即為t=2s時的瞬時速度.

教師：為了解決這個問題，17世紀的一批數學家投入了這一工作，集大成者是微分學的創始人牛頓與萊布尼茨.求t=t0時刻的瞬時速度，讓時間從t0變到t1，這段時間記作Δt=t1-t0，走過的距離記作Δs，比值Δs/Δt即為t0到t1時間內的平均速度.牛頓合理的設想：當Δt越來越小，Δs也越來越小，在就要為0而還不是0的時候，比

值

Δs/Δt就是所要求的瞬時速度.

[設計意圖]滲透微積分的發展史，使學生了解數學發展的艱辛歷程和發展邏輯，讓學生追隨大師的足跡一步步接近數學的本質，體會數學的人文、科學和應用價值.

平均速度=ΔhΔt，讓學生動筆，在草圖上把Δh和Δt（Δt>0）畫出來.并且讓2+Δt慢慢靠近2，讓學生感受到平均速度逼近瞬時速度的過程.

當Δt<0時，2+Δt從左邊逼近2.學生動筆再次作圖.

[設計意圖]通過圖形，讓學生直觀體會平均速度的逐漸逼近引起思維的變化，進而升華得出瞬時速度，也為學習導數的幾何意義做鋪墊；強調左右逼近，使學生感受一元函數的極限是從左右兩邊逼近的，為后續導數概念的深化做好準備.

接著，讓學生從代數的角度感受無限趨近，進而了解極限，感受數學的嚴謹性.

問題4：如何計算區間[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]內的平均速度？

教師：如何快速化簡式子=ΔhΔt

=h（2+Δt）-h（2）Δt

？

部分學生能化簡得到=-1.9Δt-13.1

，教師引導學生通過找同類項，提高化簡效率.分子中二次項Δt2的系數為-4.9，一次項Δt的系數為-13.1，常數項為0.

[設計意圖]通過數形結合，感受無限逼近思想的本質，培養學生思維的靈活性和縝密性.強調算理意識，落實數學運算核心素養的培養.

學生動筆計算Δt=0.1、0.01、-0.1、-0.01時的平均速度，師生利用電子表格Excel得出下表.

問題5：請觀察上述表格，當Δt趨向于0時，你能發現平均速度有什么變化趨勢嗎？

學生：當Δt趨向于0時，平均速度趨向于一個定值-13.1，這個定值就是t=2s時刻的瞬時速度.

[設計意圖]讓學生對平均速度進行定量分析，從數值上體會平均速度在時間間隔越來越小時向瞬時速度逼近的過程.

三、抽象概括，形成導數概念

學生能否對數學概念進行深刻理解的標志，表現在能否用數學的文字、圖形、符號語言來揭示概念的本質屬性.因此，導數概念的教學關鍵在于如何引導學生用數學符號語言對過程進行抽象概括.

學生對平均速度和瞬時速度的關系有了直觀的認識，為導數概念的形式化定義的抽象做好準備，筆者通過問題串來完成符號語言的轉化.

問題6：你能用符號語言表示“當Δt趨向于0時，平均速度趨向于一個定值-13.1”嗎？

學生：當Δt→0時，

h（2+Δt）-h（2）Δt→-13.1.

教師：能再簡潔一些嗎？

學生：把表示極限的兩個“→”合寫在一起，即得到

limΔt→0

h（2+Δt）-h（2）Δt=-13.1

.

問題7：t=1時的瞬時速度怎么表示？t=0呢？t=t0的瞬時速度怎么表示？

學生都能想到分別用t=1、0分別替換2，得到相應時刻的瞬時速度的表示，從而抽象得到t=t0的瞬時速度表示式：

limΔt→0ΔhΔt=

limΔt→0

h（t0+Δt）-h（t0）Δt.

在學生理解函數的平均變化率的極限即為瞬時變化率的基礎上提問.

問題8：函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示？

limΔx→0

ΔfΔx=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

稱為y=f（x）在x=x0處的導數，記作f′（x0）或

y′|x=x0

，即

f′（x0）=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

.

[設計意圖]讓學生經歷三次數學符號語言的抽象概括，形成導數的形式化定義，完成從直觀到抽象、從具體到概括的過程，培養學生的數學抽象思維.

四、深化概念，加深本質理解

“概念深化”是一節課的靈魂，對學生良好思維品質的培養起關鍵作用.這一環節形式多樣，常包括怎樣分析概念的內涵與外延？能否從圖形、文字、符號三種語言形式來對概念進行描述？能否就概念提出問題讓學生辨析正誤？學生能否自主構造例子說明？，這都需要教師動腦去挖掘.

問題9：①導數的本質是什么？

②f′（x0）與Δx的具體值有關嗎？

③f（x0）與f′（x0）一樣嗎？

④導數的表達式中分子、分母各表示什么？

問題9：函數y=f（x）在x=x0處的導數為f′（x0），則

①limΔx→0

f（x0+2Δx）-f（x0）Δx=

；

②limΔx→0

f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

[設計意圖]讓學生明確導數的本質即為瞬時變化率，是一種動態的趨近的思想，是一種特殊的極限；加深學生對導數的形式化定義的理解：導數是差商的極限，要保持差商的一致性，提高學生思維的靈活性.

教師：17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茨各自獨立地創立了微積分，當時導數的概念是含混不清的并引起了近一個世紀的爭議.19世紀初，柯西引進極限概念，給出了導數明確的定義.柯西以及后來的維爾斯特拉斯對結束微積分兩百年來思想上的混亂局面做出了巨大的貢獻，并使微積分發展成現代數學最龐大的學科.

教學中，以具體實例引出數學問題，讓學生的思維與原有認知發生沖突，再現歷史上“飛矢不動”的詭論，讓學生經歷與數學大師牛頓一起思考問題、解決問題的過程；在抽象模型環節，從形與數的表征一步步接近導數的本質，慢慢揭開導數的神秘面紗.同時，介紹數學家們追求真理的艱苦過程，讓學生感受數學發展的嚴謹，養成質疑、批判、求真、務實的理性思維和永不言棄的探索精神.

[參考文獻]

王興良.導數概念教學中滲透數學史內容的研究與實踐[J].吉林省教育學院學報，2014，3（30）.

（責任編輯黃春香）