巧用旋轉變換解初中幾何問題

黃永新

[摘 要]探討巧用旋轉變換解初中幾何問題，能為當前初中數學教學提供參考.

[關鍵詞]旋轉變換；初中數學；幾何問題

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002602

初中數學新課程標準中指出，學生可以通過實際存在的物體形狀想象幾何的圖形，再由幾何圖形想象出實際物體的形象，這就是初中幾何知識學習中學生必備的能力.初中幾何涉及圖形變換的內容包括平移、對稱、旋轉.長期以來的教學實踐發現，學生的數學幾何知識學習效果并不好，很多學生的知識運用能力、獨立解題的能力相對較差.本文主要探討巧用旋轉變換解初中幾何問題.

一、旋轉變換的概念

若從平面到其自身的一個映射，并確保其中的一個定點保持不變，即對于任一點P映射到點P′，那么OP與OP′相等，∠POP′=θ，再從射線OP到OP′方向和給定的方向相同，這個映射也就是繞中心O，根據已知方向對θ進行旋轉變換.如圖1所示，那么O就是旋轉的中心，θ就是旋轉角.這個旋轉變換的過程可記為R（O，θ）.如果旋轉角以180°為中心進行對稱變換，那么旋轉中心也就是對稱中心.

二、旋轉變換的性質

在初中數學的幾何知識中，旋轉變換的內容包括四點性質：（1）一個圖形與這個圖形在旋轉變換后得出的新圖形全等；（2）如果旋轉中心相同，連著進行兩次旋轉變換，那么依舊只是一個旋轉變換，可用R（O，θ1）·R（O，θ2）=R（O，θ1+θ2）表示.對一個圖形取點O作為旋轉中心旋轉θ1，在保持O的旋轉中心不變的基礎上再旋轉θ2，那么得出來的圖形也就是原圖形以O為旋轉中心旋轉θ=θ1+θ2而得到的圖形；（3）旋轉變換的逆變換為旋轉變換，用公式表示為R（O，θ）=R（O，-θ），通過一個圖形將O作為旋轉中心旋轉θ，如果要讓這個圖形再次回到原有的位置，那么還需要以O作為旋轉中心旋轉-θ并經過變換才能實現；（4）非恒等變換的R（O，θ）沒有二重線，但有明確的二重點，也就是旋轉中心的點，如果將△ABC這個圖形將C作為旋轉中心旋轉θ變成△A′B′C，觀察這個新的三角形不難發現，其中的直線位置都發生了一定的變化，但是重合點卻為C點，而這個點正是旋轉中心.

三、巧用旋轉變換解初中幾何問題

1.利用旋轉變換解決等邊三角形的問題

【例1】 如圖2，已知P是等邊三角形ABC中的一點，PB=2，PC=1，AP=5，那么∠BPC大小為多少？

分析：由圖2可知，圖中的已知線段PA、PC、PB都不在同一個圖形中，很多學生讀題過程中不容易發現解題的思路與方法.在這種情況下，如果進行圖形重組，讓已知線段都能在一個三角形內，那么問題的思考也就更簡單.從已知條件可知，三角形全等，存在三個60°的內角，所以可以通過旋轉角為60°的圖形進行旋轉，旋轉圖形為三角形PP′C和2、1、5為邊長的特殊三角形，得到結論是∠BPC為∠AP′P與60°的和，于是利用勾股定理逆定理可得出∠AP′P為90°，于是就能求解出∠BPC的大小.

解答：將△BPC以點C為中心順時針旋轉60°，得出△AP′C，結合旋轉的性質可知CP=CP′，∠PCP′=60°.那么△PP′C就是等邊三角形，而∠CP′P=60°.因為PB=2，PC=1，AP=5，因此AP′=2，而P′C=1，又因為22+12=（5）2，所以可以推算出∠AP′P=90°，即∠AP′C=90°+60°=150°，所以根據旋轉的性質可以得出∠BPC=∠AP′C=150°的結論.

2.利用旋轉變換解決直角三角形的旋轉問題

【例2】 如圖3，P是正方形ABCD中的一個點，∠BPA為135°，AP=3，BP=5，那么PC的長為多少？

分析：這題的解題方向與上題比較相似，根據題意可以得出AB=BC=CD=DA的結論.而正方形的內角都為90°，所以可以通過變換組成PA、PB、PC三邊的三角形，而旋轉的角度為90°.

解答：根據題意，將△BPP′以點B沿著順時針方向旋轉90°得出△AP′B，根據旋轉的性質可知BP=BP′，∠PBP′=90°，P′A=PC，那么△BPP′就是等腰直角三角形，而∠BP′P和∠PP′B相等，均為45°，因為∠APB=135°，∠P′PB=45°，所以∠APP′=90°，又由于AP=3，BP=BP′=5，那么PP′=52，于是PC=P′A=32+（52）2

=59.上述解題方法，主要是通過旋轉△BPC，使相關線段組成兩個直角三角形，其中一個為等腰三角形而得出最后的解.

3.利用旋轉求解不等關系的問題

【例3】 如圖4，已知△ABC是正三角形，在三角形中任意取一點O，要求證明OA≤OB+OC.

分析：這題由OA≤OB+OC可以聯想到“三角形兩邊之和大于第三邊”的規律，此外從圖形來看，需要證明的三條邊都相對分散，肉眼不容易看出關系，那么同樣要想辦法將這三條邊放在一個三角形當中，通過變換來得出結論.根據題意可以利用旋轉變換將△BOC以B作為旋轉中心，將其旋轉到△BO′C的位置，從而確保三條邊都能在同一個圖形當中.

此題型和例1的解答較為相似，具體的解答過程不做過多討論.從中可以結合如“兩邊之和大于第三邊”的三邊關系展開聯想，由此來證實題目的解題結果.另外，還要看清題目給出的較為分散的條件，采用幾何變換不改變大小的規律將這些分散的條件集中進行探討，再從中尋求相關邊長和角度之間的關系，就更容易厘清題目的含義，盡快找到解題思路.

4.利用旋轉在四邊形中求邊或角的大小

【例4】 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠BAC=90°，AB=AD，如果四邊形ABCD面積是24cm2，那么AC邊長是多少？

分析：這個題型與例2也有相似之處，題目中給出了不規則四邊形ABCD的面積，求出一條邊的邊長，那么就可以從面積的幾何知識入手，將不規則四邊形ABCD轉變成為規則的圖形，結合題目中給出的AB=AD條件，推斷采用旋轉變換將四邊形改變為一個規則圖形一邊利用面積的條件.

解答：如圖5所示，將△ADC旋轉90°變為△ABC′，根據旋轉的性質可知AC=AC′，S△ADC=S△AC′B，所以SABCD=S△ACC′=24（cm2），那么△ACC′是等腰直角三角形，過點A作出△ACC′的高AE，那么AE為CC′/2也就是EC，所以S△ACC′=AE·CC′/2=AE2=24，那么AC2=AE2+EC2=2AE2=48，即AC=43.

上述題型求解不規則圖形面積的方法通常是將其分為若干個規則的圖形再分別對具體的面積進行計算和相加或是將大的規則圖形面積減去小的規則圖形面積得出最后的解.還有就是利用旋轉、變換或平移的方法將不規則圖形轉變成為規則圖形更方便計算.

5.利用旋轉證明相等關系

【例5】 如圖6，在圓O中，AB為直徑、CD是弦，過A、B兩點分別作CD垂線交于E、F兩點，求證OE=OF.

分析：從圖6可知，OE與OF沒有直接的聯系，那么就要聯想到采用幾何變換的方式將分散的條件集中起來.因為OA=OB，所以可以將△OEA以O為旋轉中心旋轉為△OGB，就可以證明OG=OF.

解答：因為AE與CD垂直，BF與CD垂直，那么AE就與BF平行，且OA與OB相等，所以將△OEA變換為△OGB，根據旋轉性質可得OE=OG，OF=BG/2=OG=OE，那么OE=OF.

這個解答的過程中涉及的是邊和邊關系的問題，通常情況下題目給出的都是分散的條件，這就必須應用到幾何變換保持形狀大小不變的性質將圖形做整合，將這些分散的條件集中起來才能讓它們之間的關系一目了然，再結合題目中已有的條件，就能清楚具體的變換方法，從而證明結論.

旋轉變換的思想在初中數學幾何問題中廣泛存在，體現了數學思維的多向性特點，這也是幾何教學中教師與學生都必須明確的學習規律.教師在日常教學工作中要注意培養學生旋轉變化的意識，使學生具備快速的反應能力，從而有效降低初中數學幾何問題的教學難度，也讓學生逐漸發現數學知識學習的規律，全面提高學生的數學學習興趣和學習效率.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]冼詞學.初中數學競賽中的圖形旋轉變換問題[J].數學學習，2015，11（1）.

[2]劉清泉.旋轉變換與解題、幾何證題[J].中學數學研究，2014，2（5）.

[3]吳永照.運用旋轉應用法解答幾何問題[J].數學學習，2012，2（7）.

（責任編輯 黃桂堅）