巧用錯題資源，提升思維品質

喬云成

[摘 要] 錯題是初中生數學學習中的寶貴資源. 錯題資源的發掘，目的要鎖定在提升學生的思維品質上. 錯題資源的發掘需要師生共同認識其價值作為前提，然后在具體的策略下實施.

[關鍵詞] 初中數學；錯題資源；學習品質

教學質量是衡量教師個體教學水平的主要因素，教學質量與教師的教學相關，也與學生的學習相關. 從辯證的角度來看，教學質量是師生教與學相結合的產物，就初中數學學科而言，教師的教學質量更多的決定于學生的學習質量，因此數學教師在教給學生數學知識的同時，更要教會學生如何學好數學. 考慮到學生運用數學知識的主要環節在于解題，因此從解題角度提升學生的數學學習品質，就成為提升教學質量的重要舉措. 在實際教學中，最能體現數學思維品質的是解題（問題解決），最能反映學生思維不足的也是解題，尤其是當遇到學生做錯題的時候，師生如何面對？又應當采取什么樣的跟進措施？筆者以為這是需要重點研究的課題，只有當錯題當作一種資源，并從這些資源中發掘教學價值，才能讓學生的數學學習品質得到進一步的提升，本文試就這個話題展開探討.

初中數學錯題的資源價值在哪里

認識到數學錯題的資源價值所在，才能真正發掘出其價值，并且服務于學生的數學學習.

當前，數學教師關于錯題的價值認識普遍基于這樣的一種共識：錯題在得到重視并進行了適當的重復之后，學生能夠做對，于是解題能力就能得到一定程度的提升. 這樣的認識符合經驗，同時這樣的認識又有一定的局限性. 經驗表明，當前學生在數學學習中表現出的一個顯著特點，就是只有做過的習題才能在下次遇到時輕車熟路，而只要題型一變，就會感覺非常困難，甚至是連一些學優生也是如此. 在感覺到困惑的同時，教師通常會選擇幫學生擴大視野，即通過設計、編制更多種類型的題目讓學生去練習，而在出錯之后則繼續進行錯題整理與歸類，以試圖提高學生的解題水平.

在筆者看來，這樣的做法的作用可以說是治標不治本，因為數學習題真如海，有限的訓練不可能讓學生形成必要的解題能力（當然，筆者并不反對必要的、一定量的訓練）. 因為如果說學優生身上都表現出這種缺乏應對變式或反例（最基本的兩個心理學概念）時，那說明我們的訓練方法可能存在不足. 或者說得直接一點，就是簡單的錯題整理與歸類，實際上并不會讓學生的解題能力有明顯提高. 因此，錯題的真正的資源價值是需要重新發掘的.

筆者以為，初中數學教學中將錯題視作寶貴的資源并發揮其價值. 需要建立兩個基本認識：第一，有價值的錯題，必然反映學生思維的不足. 因此并不是所有的錯題都是有價值的，只有真正反映學生思維盲點的錯題，才具有研究的價值；第二，錯題研究的方向不在于一道題的解決，而在于一類題的解決，因此錯題資源的開發與利用，應當是一個系統過程，絕不是錯題整理一下、正確答案書寫一下就完事的. 基于這樣的兩點基本認識，筆者以為數學教師對錯題及其價值的認識要提升一個層次，至少要將目光集中到提升學生的思維品質上來；而從學生的角度來看，讓學生在研究錯題的過程中，反思自己的解題思路上的不足則是必然之舉.

用數學錯題提升學生的思維品質

那么，利用數學錯題來提升學生的思維品質，到底有哪些具有可操作性的措施呢？筆者結合自己的實踐進行了總結，提出如下三點錯題分析思路供同行們參考：

第一，能力主線式錯題整理. 整理錯題切忌錯一題整理一題，結果可能會得到一本工工整整的錯題集，但其可用性與實效性實際上是得不到保證的，相比較而言，筆者更傾向于學生通過分析自己的數學解題能力，尤其是發現自己解題能力或者說某種意識的不足來整理錯題. 比如說在一類幾何證明題中，筆者指導一位學生發現自己在證明“兩角相等”和證明“一條線是某角的角平分線”時所出現的錯誤，讓學生認識到了其出錯原因在于沒有將角平分線的性質——角平分線上的點到兩邊的距離相等活學活用，他不知道利用這個性質引導自己去形成構建全等三角形的思路. 于是筆者讓他將曾經錯過的若干題目中的兩題提取出來記入錯題集，并在這兩題之前做上同樣的記號，這兩題題干看起來并不相同，但實質都指向同一思路. 這種遵循同一思路去整理錯題的做法，是發掘錯題資源價值的重要基礎.

第二，思路回溯式錯題分析. 錯題的價值是要通過分析才能發現的，分析的落腳點應當是解題思路，而解題思路中的不足是通過比較才能發現的，因此有效的比較是數學錯題資源價值發現的重要途徑.

例如這樣的一道題目：如圖1，△ABC和△EFC都是等邊三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若點E在直線AD上運動，連接DF，則在點E運動過程中，線段DF的最小值是（ ）

這題本來的思路是根據三角形的性質來判定得出∠FBC=30°，進而根據垂線段的性質判斷當圖中的DF與BF垂直時，DF取最小值，然后根據剛剛得出的∠FBC=30°與直角三角形的性質來求解. 而學生在解題的過程中，他們的思路常常卡在不知道DF的值在什么時候最小. 通常情況下，學生對此類習題的解答都需要教師的講授才能構建完整的解題思路，而這個思路之于學生的價值，則在于幫學生完善自己原有的思路. 打個不恰當的比方，這類試題學生在初次解決的時候，其思路是零散的、碎片化的，而教師的講授就如同修補匠一般，是幫學生的原有思維打補丁的過程. 真正有效的學習過程，不是接受這些補丁，而是在補丁打完之后學生的反思過程. 筆者在此題教學的過程中，重點讓學生梳理自己原有思路的“錯誤”（這是錯題的價值之一），然后讓學生復述正確思路，并比較自己思路與正確思路的差異，重點判斷自己在哪個地方沒有形成準確的判斷. 待到自己的思路清晰之后，筆者還讓學生在錯題集上進行反思性描述，其大體格式是這樣的：初次思考時，因為……原因，沒有想到關鍵的……一步；梳理正確的解題思路之后，我認為……對我而言是最關鍵的，以后解題要注意……

這種反思式的錯題總結，實際上是讓學生回溯自己的初次解題過程，并將之與正確的解題思路進行比較，以在比較中發現自己的不足. 這種分析錯題的思路，應當成為初中數學錯題資源發掘中的常態，很多時候我們發現學生在解題之后就忘記了自己的解題思路，筆者以為這是學生解題中過于被動的表現，說明了學生對自己解題思路清晰化的忽視，而真正學習能力強的學生，是不會這樣的. 通過這種回溯式的分析，可以讓學生逐步形成注重思維品質，并在錯題中提升思維品質的習慣.

第三，合作對比式錯題總結. 初中學生的心理特點決定了他們在做錯題目之后，總喜歡掩飾自己的錯誤，這實際上無形當中使得學生喪失了一個直面自己錯誤的機會. 針對學生的這一心理特點，筆者的錯題資源發掘的另一思路，就是培養學生“強大的心理”，讓學生不但敢于面對自己的錯誤，還愿意與他人分享自己的錯誤. “分享錯誤”對于學生來說，是一個新的學習理論，筆者跟學生強調：在初中數學學習的過程中，沒有誰不出錯的，即使是最優秀的學生，有時候也會犯低級的錯誤（這里可以征得優生的同意，舉他們的實際出錯的例子）……錯誤其實往往比正確更有價值，因為在日常的訓練過程中，做對了題目說明自己已經會了，說明這些題目對自己已經沒有多大的價值了，而只有做錯了的題目，才能讓自己獲得更大的進步. 通常情況下，初中學生是能夠認識到這一道理的，在學生認同了這一理念之后，教師可以利用小組合作的學習方式，讓學生就某個階段所做錯的題目進行專題討論，事實證明，這確實是一個非常好的策略.

有一次測試的時候，筆者發現學生的所出的錯誤呈現出兩個特點：一是部分難題，錯誤集中；其余部分中檔題，則出錯比較分散. 基于這一特點，筆者讓學生在小組合作中分兩步對錯題進行討論分析：首先，看共同的錯題，這實際上是共性問題，教師講授不可忽視，具體不贅述；其次，就分散的錯題在小組內“先提問，后討論”. 提問就是講自己的思路，講“為什么我這么做就錯了”，講“這種題目應該怎么想（思考）”. 而且筆者明確必須這么問，因為只有這么問，學生的解題方法的意識才會增強.

例如這樣一題：如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，A（-4，0），B（0，2），（1）求點C的坐標；（2）如圖3，若點A不動，點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角三角形BOF與等腰直角三角形ABE，連接EF交y軸于P點，問當點B在y軸正半軸上移動時，BP的長度是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出其長度.

在討論中，筆者要求做錯的學生必問的問題是：第1問對第2問有什么作用？這是這一類題目的基本特點，通常第1問對第2問的求解都有思路上的啟發作用，而很多學生之所以出錯，正是因為不能很好地意識到這一點，或者說雖然意識到，但由于題設條件變化較大，他們無法實現有效的轉變. 而這種情況下，學生之間的講授，可以讓他們在安全的學習情境中打開思路，最后教師再加以點撥，就可以讓學生的思路更加明晰.

錯題資源的發掘須建立生本意識

錯題資源的發掘與數學概念的教學不同，在解題中，錯誤是學生自己犯的，錯誤反映著學生思維的不足或者說缺陷，而矯正錯誤也是學生自己的事. 因此，教師研究錯題并嘗試以錯題分析為出發點來提高學生的解題能力與思維品質，關鍵的一點，是必須堅持以學生為本，真正從學生的角度出發去思考問題.

具體有兩點認識：一是要讓學生理清自己錯在哪里，哪怕學生忘記了自己的解題思路，也要讓學生重新看自己的錯誤解題過程，以知道自己錯在哪里. 只有知道“錯在哪里”，才能認識到“對在哪里”的價值；二是要讓學生自己描述正確的解題思路，通常錯題訂正的時候，學生只喜歡抄正確答案，卻不知道背后的思路. 嚴格來說，這不是真正的訂正，真正的訂正是需要思路支撐的. 因此，說思路比寫過程更重要.

當然還有必須交代的一點，本文所說的錯題，是指學生有思路，但思路出錯的那些試題. 一點不會、毫無頭緒的錯題，嚴格來講，不在學生的“最近發展區”之內，其價值發掘不如這一類試題.