基于混合式教學的“梯度”教學案例研究

趙文才 劉洪霞 包云霞

[摘 要]APOS理論為數學概念的教學提供了理論基礎。以“梯度”為教學案例，可以探索以問題驅動的混合式教學模式改革，鼓勵學生從實際問題出發，充分利用優質課程資源自主探究學習。通過活動、過程、對象、圖式等階段的逐層構建，可以幫助學生完成對梯度概念的完整認知。

[關鍵詞]APOS理論；混合式教學模式；問題驅動；教學案例；梯度

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）03-0061-04

○、引言

20世紀90年代，美國數學教育家杜賓斯基（Dubinsky）在研究數學概念的教學中提出了APOS理論。APOS理論認為，高等數學概念的學習過程，是學生分層主動建構的過程。首先，通過“活動”（actions）讓學生親身體驗和感受問題的直觀背景、概念間的關系。其次，通過“過程”（processes）讓學生對活動階段進行反思，經過描述、內化和抽象，得出概念所特有的性質。再次，通過“對象”（objects）讓學生認識概念的本質，并賦予形式化的定義和符號，使其成為一個具體的對象并以此為對象進行新的活動。最后是“圖式”（schemas）階段，通過長期的學習和完善，讓學生建立起與其他概念、圖形和規則的聯系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。在數學概念的建構過程中，學生已有的知識結構發揮了重要作用。

“梯度”是多元函數微分學的重要概念，是刻畫多元函數變化率的重要工具，在解決許多實際問題中具有廣泛應用。在學習“梯度”概念之前，學生已掌握了導數、偏導數、方向導數以及向量的數量積等知識。如何幫助學生順利實現已有知識結構到新知識的遷移，從而掌握梯度概念的本質以及與方向導數的關系，是本節課要解決的主要問題。

一、教學目標

課程教學包括知識目標、能力目標、情感目標等三個方面。

1.知識目標：理解和掌握梯度概念與計算方法；掌握梯度與方向導數的關系；理解梯度的幾何意義。

2.能力目標：培養學生綜合運用所學知識發現問題、分析問題和解決問題的能力；培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及理論聯系實際的能力。

3.情感目標：引導學生主動從現實生活中提煉數學問題，激發學生學習數學的興趣，使學生體驗數學知識的價值與應用，形成主動學習的態度，提高學習積極性。

二、教學策略

1.采用線上線下相融合的混合式教學模式。課前線上學習、小組討論，課上教師講解、同學匯報，師生討論、深化提高。

2.采用以問題為驅動的教學策略。從警犬尋找毒品、螞蟻逃生等實際問題引入，圍繞下列問題漸次展開。第一，什么是梯度？如何進行計算？第二，梯度與方向導數的關系如何？第三，梯度的幾何表示。

3.課堂教學突出重點。由方向導數的計算公式推導出方向導數是兩個向量的數量積，從中引出梯度概念。進一步利用數量積的定義，討論梯度與方向導數的關系，使學生掌握梯度就是一個向量的本質內涵，沿梯度方向，函數增長最快。

4.采用實例教學法，激發學生學習興趣。利用生活中的警犬尋毒、螞蟻逃生來引入梯度，讓學生理解梯度的含義，引導學生主動思考和應用梯度概念。

三、教學過程

（一）活動（actions）階段——概念引入

新概念的引入應充分考慮學生的身心發展和認知基礎，體現直觀性與可接受性原則。建構主義理論認為，此時學生尚處于概念直覺的“活動”階段。教學中一般應從具體問題或數學自身矛盾出發，通過具體實例讓學生體驗、感受新概念的具體背景，激發求知欲和創造力，主動去構建新知識。警犬尋找毒品、螞蟻逃生等均為現實生活中的真實問題，作為梯度引入的具體背景，學生易于接受，探索問題背后蘊含的數學概念，學生興趣盎然。

師生共同分析：根據動物本能，警犬一定沿著氣味濃度增加最快的方向搜尋毒品，而螞蟻一定沿著溫度下降最快的方向逃離石板。如何描述函數變化最快的方向？這就是梯度，從而引出本節教學內容。

板書本節課的主要問題（后續教學緊緊圍繞這三個問題展開）：

第一，什么是梯度？

第二，梯度與方向導數的關系如何？

第三，梯度的幾何表示與應用。

（二）過程（processes）階段——內涵闡釋

學生通過對實際問題的思考，也就是通過對活動階段進行反思、內化、壓縮等一系列思維過程，初步抽象出新概念的內涵和性質，歸納出概念的基本定義。采用線上線下相融合的混合式教學模式，鼓勵學生利用網絡教學資源，對梯度概念進行充分預習，形成初步印象。通過小組討論，發現問題。教師利用課堂進行引導、深化和提高。在這一過程中充分體現學生的主體地位。

任何新知識的產生，都有其內在發展變化的規律，新舊知識之間一定存在千絲萬縷的聯系，絕不是“無源之水、無本之木”，更不是“天上掉下個林妹妹”。教師的作用就是幫助學生建立新舊知識的橋梁，順利實現從原有知識到新知識的遷移，完成對新知識的構建。為了幫助學生實現“梯度”概念的構建，就需要建立與已有知識的聯系。經過“活動”階段，學生已經形成直觀印象，“梯度”應該是函數增長最快的方向。進一步引導學生思考：哪些概念可以描述函數變化的快慢？我們知道，偏導數反映的是函數沿坐標軸方向的變化率，而方向導數則表示沿給定方向的變化率。若函數f（x，y）在點P0（x0，y0）可微，則函數在該點沿任意方向=（cos？琢，cos？茁）的方向導數存在，且有

=fx（x0，y0）cos？琢+fy（x0，y0）cos？茁.

引導學生觀察方向導數的計算公式，不難發現，如果引入矢量

fx（x0，y0）=fx（x0，y0）+fy（x0，y0），

則有fx（x0，y0）· =fx（x0，y0）cos？茲.

進一步啟發學生思考：哪一個方向函數變化最快？也就是方向導數最大？答案是顯而易見的，“梯度”概念的引出，也就水到渠成了。

由于同學們課前進行了網上學習，有同學主動要求匯報。學生在黑板上給出了梯度概念并結合下列題目進行求解。

例1 已知f（x，y）=xy，計算f（1，-1）.

教師：該同學講解清晰，課前進行了認真準備。例1討論的是二元函數的情況，對三元函數，又該如何定義梯度呢？

有學生回答：三個偏導數為坐標構成的向量。也就是說，對于三元函數u=f（x，y，z），該函數在點P0（x0，y0，z0）的梯度為

教師總結：梯度就是以偏導數為坐標構成的向量，幫助學生完成“梯度”概念本質內涵的把握，實現知識結構的初步遷移，完成對“梯度”概念的初步建構。

（三）對象（objects）階段——梯度與方向導數的關系

通過前面的直覺、抽象，逐步認識了概念的本質，并賦予了形式化的定義和符號，使其成為一個獨立的精致化的“對象”。經過“對象”階段之后，新概念呈現出一種靜態結構關系，便于整體進行把握和使用。

下面將梯度上升為一個獨立的“對象”來研究，討論與方向導數的關系。本部分內容由學生根據線上學習情況匯報，梯度與方向導數的關系完全取決于夾角，經學習小組其他同學完善，得到下表：

顯然，該組同學課前進行了深入學習和探討，自主學習能力、創新意識較強。為了進一步鞏固梯度與方向導數的關系，由另一小組匯報教材下列例題的求解方法。

例2 已知函數f（x，y）=與P（1，1）點， 計算：（1） f（x，y）在P處增加最快的方向及沿該方向的方向導數；（2）f（x，y）在P點減少最快的方向及沿該方向的方向導數；（3）f（x，y）在P處的變化率為零的方向。

小組推舉一人進行課堂匯報，因課前進行了線上學習和組內討論，學生能夠很好地給出題目的解答過程。該函數為旋轉拋物面，教師進一步從幾何直觀加以解釋和拓展，引導學生思考：如何利用幾何直觀表示出梯度向量？從而為下一階段的學習做好鋪墊。

（四）圖式階段（schemas）階段——梯度的幾何表示與應用

在經過活動、過程、對象等三個階段之后，學生通過建構、反思形成認知圖式。認知圖式要經過長期的學習活動來完善。初級的圖式包含定義、符號以及反映概念的特例、抽象過程等內容。經過后續學習建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系， 在頭腦中形成綜合的心理圖式。在梯度概念的教學過程中， 通過揭示與向量、內積、方向導數等概念之間的關系，加深對梯度概念的理解和把握， 從而形成心理圖式和數學意識。通過梯度的具體應用，提高分析解決實際問題的能力。

為了能建立“梯度”概念的完整圖式，先來看梯度的幾何意義。由例2不難發現，梯度方向恰好是曲線的=c一個法向量，從而引出等高線（也稱等值線）的概念。推廣到一般情況，得出梯度的幾何表示。

結合圖3，教師及時提出質疑：等高線f（x，y）=c在P點有兩個法向量，梯度應該是哪一個法向量呢？由于梯度是函數增長最快的方向，因而一定指向較高的等值線。及時幫助學生辨析，去掉歧義，實現概念的準確建構。

教師：請同學們思考，對于三元函數，如何用幾何直觀表示梯度？

學生： 等值面的法向量。

教師： 法向量的方向有兩個，應該是哪一個？教師適時加以引導，運用類比推理方法，完成知識的進一步拓展。經課堂共同討論后得出結論：指向數值較大的等值面。

為了進一步深化對梯度的認識，提高運用所學知識分析解決問題的能力，下面來看梯度的具體應用。如何求解警犬的搜索路徑？

例3 已知毒品氣味濃度在地表平面上的分布函數為

警犬從（x0，y0）處沿氣味最濃的方向搜索毒品，求警犬搜索的路線。

師生共同分析：若設搜索路線為y=y（x），則求解搜索路線的關鍵是建立路徑所滿足的微分方程。如何建立所滿足的微分方程？引導學生思考警犬的前進方向。由課題的引入，警犬一定沿著氣味濃度增加最快的方向，也就是梯度方向搜尋毒品。而函數f（x，y）=e- （x+2y）在任意點P（x，y）處的梯度為

f（x，y）=fx（x，y）+fy（x，y）=2e- （x+2y）（x+2y），

因此，該梯度方向就是警犬前進的速度方向，也就是曲線y=y（x）在任意點P（x，y）處的切線方向。而切線方向為

=dx，dy.

于是f（x，y）∥，由此得出，y=y（x）所滿足的微分方程為

=y（x0）=y0

這是一個變量可分離方程，不難求解得

y=x.

顯然，這是一條拋物線。由濃度函數f（x，y）=e- （x+2y）不難看出，f（0，0）=1為最大值。因此，警犬從（x0，y0）處沿拋物線到達原點，從而找到毒品的藏匿位置。

該題前后呼應，讓學生體會知識的應用和價值，培養學生運用所學知識分析解決問題的能力。警犬搜索毒品這樣的現實問題，借助于數學，就可以得到完美的解決，進一步激發學生學習數學的興趣。

（五）內容總結

課堂總結復習，回顧梯度的定義， 梯度與方向導數的關系以及梯度的幾何表示。“梯度”概念的教學過程如下：

為了幫助學生實現知識的拓展與升華，給出下列思考題：

（1）已知石板的溫度分布函數為T=80-2x2-y2-x，求螞蟻的逃生路徑。

（2）例3研究的是平面搜索問題，若毒品藏在大山之中，警犬的搜索路徑又該如何求解呢？例如，已知毒品氣味濃度函數為

f（x，y，z）=e- （x+2y+z），

求搜索路徑？

第一題用來呼應課題引入的另一個實際問題，這仍是一個二維平面問題，學生受到例題3的啟發，應該容易解決。第二題推廣到三維空間，難度較大，具有挑戰性。學生成功解決二維搜索問題之后，已體驗到成功的快樂，一定會向三維搜索問題發起沖擊。

四、教學反思

課題教學從警犬搜索毒品、螞蟻逃生等實際問題引入，圍繞問題展開討論，最后以解決問題結束，前后呼應得當。教學案例以APOS理論作為具體指導，采用了線上線下相融合的混合式教學模式，學生通過課前線上學習，課堂匯報， 充分體現了學生的主體地位，發揮了學生學習的積極性和主動性。該教學方法得到基礎較好學生的廣泛贊同。但部分同學參與程度不高，線上學習不到位。該教學方法對部分基礎較差、學習主動性不強的學生不適合，容易造成掉隊。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] DUBINSKY E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking[J]. Advanced Mathematical Thinking，1990，11：95-126.

[2] 陳惠勇.數學史觀下的數學概念教學新模式[J].高等數學研究，2007（5）：58-62.

[3] 高雪芬，鮑建生.大學生對微分概念的理解及認知方式分析[J].數學教育學報，2013（1）：40-43.

[4] 王彩芬，曹榮榮，田磊，等.基于APOS理論的無窮級數概念認知分析[J].高等理科教育，2016（4）：86-90.

[5] 趙文才，劉洪霞，趙義軍.類比推理方法在翻轉課堂教學改革中的應用[J].大學教育，2016（10）：122-124.

[6] 劉洪霞，周紹偉，卓相來.基于微課的翻轉課堂教學設計與實踐[J].統計與管理，2017（5）：117-119.

[7] 趙文才，侯婷，楊記明，秦婧.大學數學學習障礙的成因與對策[J].教育與教學研究，2010（8）：112-114.

[8] 鐘曉流，宋述強，焦麗珍.信息化環境中基于翻轉課堂理念的教學設計研究[J].開放教育研究，2013（1）：58-64.

[責任編輯：林志恒]