算理不清用圖形，思路不明畫線段

閆倫

[摘 要]幾何直觀在數的認識和運算中有重要作用。在教學“除數為分數的除法”時，多次運用幾何直觀，突破教學難點，幫助學生深刻理解分數除法的算理。

[關鍵詞]幾何直觀；分數除法；歸納法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）11-0079-02

【教學內容】北師大版教材五年級下冊第57頁至58頁“練一練”。

【教學目標】

1.借助實物操作和演示，理解分數除法中除數為分數的意義和算理。

2.歸納得出一般分數除法的計算方法，并能正確計算。

【設計思路】“幾何直觀”是學生理解分數乘除法算理的重要手段，培養學生“幾何直觀”素養是數學學科核心素養的重要內容。通過教具、課件演示等直觀方式，在幫助學生理解除數為分數的除法算理的同時，提升學生運用“幾何直觀”解決問題的能力和培養學生的“幾何直觀”素養。

【教材分析】分數除法（二）是北師大版教材五年級下冊的內容，即除數為分數的小數除法。本課是讓學生在上節課學習了“分數除以整數”后，進一步認識分數除法的意義和算理算法。與除數為整數的除法相比，除數為分數的除法意義在算理上是完全不同，前者為“等分”，后者為“包含分”；前者算理容易理解——把一個數平均分成幾份與求這個數的幾分之一的意義容易溝通，后者學生理解很困難——每幾分之一個一份，相當于每個幾分之一都可以分成幾份。因此，理解算理是本節課的重點和難點，筆者將利用“幾何直觀”手段來突破這些重難點。

【教學過程】

一、導入

師（出示本課師生愿景：會講故事的老師，會講道理的學生）：猜一猜，老師為什么會提出這樣的要求。

師：一位國王造了一個大湖，便問群臣“：這個大湖的水能裝多少桶？”大臣無言以對……最后，有一位大臣的兒子幫父親解決了問題：“關鍵要看桶多大，如果桶和湖一樣大，一桶就裝完；如果桶是湖的一半，可以裝兩桶……”

[設計意圖：揭示本節課的主線和學習的策略——講算理。故事為主線的問題串引入，不但為除數為分數的除法意義的學習做了鋪墊，還溝通了2和，3和……互為倒數的兩個數的實際意義——總量為“1”時，每份數與份數互為倒數。]

二、新知探究

師：國王問：“你們會列算式嗎？”大臣表示只會列第一個1÷1=1，其余不會。國王要求他們和我們一起學習“分數除法”，我們一起來幫助他們。不過他們遠道而來，一定已經餓了，我們先請他們吃點東西。

師（出示主題圖1；圖略）：有4張同樣的大餅，每2張為一份，可以分給幾個人？

（學生列出算式，重點講清為什么用除法，以及兩個2的區別）

師（出示主題圖2；圖略）：有4張同樣的大餅，每1張為一份，可以分成幾份？

（學生列出算式，重點講出除數1和商4的意義）

[設計意圖：溫習除法中包含分的意義及除法各部分表示的意義。]

師（出示主題圖3）：

生1：4÷=8。

師：8是如何得到的？

生2：看主題圖可知，一共被分成了8份。

生3：根據意義，看4里面有幾個一半，共8個一半，即8份。

生4：除以一個數等于乘這個數的倒數，所以4÷=4×2=8。

師：我們只學過“除以一個整數，相當于乘這個整數的倒數”，這能直接遷移到分數除法嗎？

師：除以一個分數是否相當于乘這個分數的倒數？理由是什么？意義上能說得通嗎？

（舉例說明除數為整數的情況。如a÷3和a×都可以表示平均分成3份，求每份是多少）

師：除數為分數時也是這樣嗎？刻舟求劍的典故后面有一個故事，說有一個人把一個嬰兒扔到水里，曰“其父善游”。其父善游其子亦善游？這個故事傳達了一個重要的數學精神——大膽猜測，小心求證。

師：為什么除以相當于乘2呢？或者說每張餅為一份時，為什么乘2，2表示什么意思呢？（教師出示“錦囊”：每張餅為一份相當于每張餅可以分成2份）

（學生講4遍“道理”：第一遍讀“錦囊”，初步理解句意；第二遍，教師手持教具（教具為兩個半圓）演示，學生看著幾何教具講，通過幾何直觀，初步理解算理；第三遍，學生看著主題圖講，并補充說4張餅可以分成4×2=8；第四遍，學生看著算式講，理解“除以幾分之一，相當于乘幾?！保?/p>

[設計意圖：語言是思維的載體，學生在反復講“道理”的過程中，就能理解算理，教師再輔以幾何直觀，就能充分幫助學生溝通生活與算式的意義。]

師：有4張餅，每張為一份，可以分成幾份？你會算嗎？（把“錦囊”的教學內容遷移到上）

師：現在能否說“除以一個分數，相當于乘這個分數的倒數”？

師：通過“守株待兔”這個故事，我們明白了，為了排除偶然因素，必須小心求證。因此，僅用分餅一件事來說明是不夠嚴謹的，還要用更多的事例來進行歸納，從而提高命題的正確性。

[設計意圖：此處讓學生體會不完全歸納推理的方法——作為合情推理，事例越多，不完全歸納得出的命題正確性越高。]

師（出示P58練一練圖1；圖略）：2米長的繩子，每段米，可以截成幾段？（學生列式，并講出算理?！板\囊”改為“每米一份相當于‘1米可以分成2份?！保?/p>

（教師出示P58練一練圖2，教學流程同上）

師（出示P58練一練圖3）：2米長的繩子，每段米，可以截成幾段？

生5：每米為一份，相當于1米可以分成份。

（教師引導學生發現“原來的除數一直是分子為1，即為分數單位，如果分子不是1，原來的“錦囊”就不靈了”，指導學生將轉化為1或是1.5，說成一個半，再對照線段圖來講明道理。）

[設計意圖：對于分母不為1的情況，運用轉化和幾何直觀手段，可以助力教學目標的達成。]

師：通過以上例子可以得出，除以一個分數，相當于乘這個分數的倒數。除以一個數，相當于乘這個數的倒數。

三、反思總結

師：如果桶是湖的一半，可以裝兩桶。列式為1÷=2（桶）?？偭繛椤?”時，表示每份數，2則表示份數。我們是將除以每份數轉化為乘每份數來計算和說明算理的。

師：本節課中，老師是會講故事的老師嗎？你們是會講道理的學生嗎？我講了什么故事，你們又講了什么道理？我們是如何進行歸納推理的？有兩個幕后“英雄”介紹給大家。

課件呈現：

A錦囊：語言是思維的載體，多講多說可以幫助我們理解算理。

B幾何直觀是理解算理、解決問題的好幫手，今天我們就是用它來學習的。送給同學們兩句話：算理不清用圖形，思路不明畫線段。

（責編 金 鈴）