基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)備考建議

黎福慶

【摘 要】本文闡明基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考備考方向，總結(jié)備考的基本思想，即概括試題的具體問題，建立高考數(shù)學(xué)全國卷試題題干和設(shè)問的模胚，在模胚題的基礎(chǔ)上建立部分變式題，形成題集，供高三學(xué)生和數(shù)學(xué)教師使用。

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 模胚題 變式題

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）02B-0067-02

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的適應(yīng)青少年一生發(fā)展和國家發(fā)展需要的人的基本思維和必備能力，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的過程中慢慢形成起來的。當(dāng)前數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，也就是說，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是眾多數(shù)學(xué)素養(yǎng)中更應(yīng)該注重的核心要素。陳敏（2015）認(rèn)為，將一切數(shù)學(xué)基本知識剔除，余下的數(shù)學(xué)邏輯、推理和分析能力則是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要具有針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)和一定監(jiān)督效果的教學(xué)評估來保障。孫朝仁和馬敏（2015）認(rèn)為，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要從教學(xué)生如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)開始，從現(xiàn)實(shí)中發(fā)現(xiàn)抽象，從具體中剝離規(guī)律，從微觀中總結(jié)宏觀。

2017 年數(shù)學(xué)高考全國卷考試大綱的修訂與前兩年相比，主要表現(xiàn)是從數(shù)學(xué)思想方法、能力以及科學(xué)與人文素養(yǎng)三個(gè)方面提出要求，進(jìn)一步了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，注重引導(dǎo)一線教師積極更新教學(xué)理念，削弱重知識輕能力、人為地將科學(xué)與人文分開等現(xiàn)象給學(xué)生的發(fā)展帶來的負(fù)面影響，更加重視數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思想。總體而言，它進(jìn)一步優(yōu)化高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識結(jié)構(gòu)，適當(dāng)削減一些不必要的教學(xué)內(nèi)容，比如在數(shù)學(xué)考試大綱中刪去選考模塊 4-1“幾何證明選講”，以更好地集中培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這既符合目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，又保持了與數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和今后課程改革標(biāo)準(zhǔn)的一致性，更能提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性與備考的有效性。

一、明晰基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)高考備考方向

基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過分析 2015—2017 年高考數(shù)學(xué)全國卷的試題本質(zhì)特征就可發(fā)現(xiàn)高考試題的基本解法，并由此總結(jié)出備考的基本思想。就試題而言，概括出試題的具體問題，建立高考數(shù)學(xué)全國卷試題題干和設(shè)問的模胚，在模胚題的基礎(chǔ)上建立部分變式題，形成題集，編著為校本教材，供學(xué)生和高三數(shù)學(xué)教師復(fù)習(xí)備考使用。以三角函數(shù)部分為例，進(jìn)行舉例說明。

1.概括出三角函數(shù)試題的具體問題

〖高考原題 1〗（2015 年全國 Ⅰ 卷）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（ ）。

〖問題 1〗利用兩角和、誘導(dǎo)公式變形求值。

（2016 年全國 Ⅱ 卷）若 ，則 。

〖問題 2〗利用兩角差、同角公式變形求值。

（2016 年全國 Ⅲ 卷）若 ，則 。

〖問題 3〗利用二倍角、同角公式變形求值。

由以上歸納出考點(diǎn)：利用主要公式變形求值。

〖高考原題 2〗（2015 年全國 Ⅱ 卷）△ABC 中，D 是 BC 上的點(diǎn)，AD 平分 ∠BAC，△ABD 面積是 △ADC 面積的 2 倍。（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）若 AD=1， ，求 BD 和 AC 的長。

〖問題 1〗利用面積公式列方程變形求解。

（2016 年全國 Ⅰ 卷）△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c。

（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若 ，△ABC 的面積為 ，求 △ABC 的周長。

〖問題 2〗利用正余弦定理方程變形求解。

（2017 年全國 Ⅰ 卷）△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 △ABC 的面積為 。

（Ⅰ）求 sinBsinC；（Ⅱ）若 6cosBcosC=1，a=3，求 △ABC 的周長。

〖問題〗利用面積公式列方程變形求解。

由以上歸納出考點(diǎn)：利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知識，通過轉(zhuǎn)化、方程等思想，經(jīng)過運(yùn)算、推理、解三角形及其有關(guān)問題。

2.形成三角函數(shù)大題的模胚

（1）解三角形的本質(zhì)：已知某三個(gè)元素（三角形確定），求其他元素或有關(guān)的量。如果已知某一兩個(gè)元素（三角形不確定），則可求出其他部分元素，并可以求出某些元素或有關(guān)量的變化范圍。

（2）命題思路：間接給出三角形的一個(gè)條件，利用另一個(gè)或兩個(gè)元素的值和隱藏條件求某元素或量或取值范圍。

（3）命題藍(lán)圖：給出三角形的一個(gè)條件。①已知一個(gè)元素，求另一個(gè)元素；②已知另一個(gè)元素，求某個(gè)元素或有關(guān)量的范圍。

由此得出模胚。如：在 △ABC 中，AB=2AC。①若 C=90°，求 B；②若 AB=2，求 △ABC 的面積的最大值。

3.劃分與確定高考數(shù)學(xué)內(nèi)容，明晰主要方向

（1）對試卷、教材、考綱三者的領(lǐng)會。關(guān)于試卷，因?yàn)橹R有變化，思想方法又隱藏于答案，數(shù)學(xué)能力與內(nèi)容有關(guān)，因此需要對試卷進(jìn)行歸納。關(guān)于教材，因?yàn)橹R不系統(tǒng)，思想方法零散，數(shù)學(xué)能力隱含于知識發(fā)生發(fā)展當(dāng)中，因此需要對教材進(jìn)行整理。關(guān)于考綱，因?yàn)榭季V中知識太多，思想方法指向不明，學(xué)科能力描述空洞，因此需要對考綱進(jìn)行有效詳細(xì)解讀。

（2）對高中數(shù)學(xué)基本知識（含基本技能和具體方法）的劃分與確定。高中數(shù)學(xué)基本知識：“是什么”“具體怎樣做”“掌握解決問題步驟”。數(shù)學(xué)學(xué)科基本思想方法：“如何想到”“如何運(yùn)用”“掌握同一類問題的解決方法與思路”。數(shù)學(xué)學(xué)科基本能力的內(nèi)容及要求：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模（創(chuàng)新意識和應(yīng)用）、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)核心素養(yǎng)，做到以此立意命題，統(tǒng)領(lǐng)問題并解決。

（3）對試題進(jìn)行歸類整合。按照內(nèi)容劃分，將試題歸類，全國卷可分 14 類：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、向量、數(shù)列、不等式與線性規(guī)劃、排列組合與二項(xiàng)式定理、算法、復(fù)數(shù)、集合與簡易邏輯、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式（選講）。要求突出核心思想，始終貫穿思想方法，體現(xiàn)學(xué)科能力。呈現(xiàn)要清楚，問題的一般描述形式為“用概念、規(guī)則等知識通過學(xué)科思想方法做具體分析、解決任務(wù)”，問題形式簡潔，知識層次分明，題目搭配合理。

（4）對考點(diǎn)的劃分與確定。問題與內(nèi)容，主要是考查問題及其核心思想方法，如，小問題及主要知識方法技能，具體問題及概念規(guī)則應(yīng)用等。對于大題模胚及得分點(diǎn)來說，包含評分標(biāo)準(zhǔn)，各小問題的得分步驟，共性和突破點(diǎn)以及相應(yīng)的訓(xùn)練題。對于小題題型結(jié)構(gòu)及變式來說，要有考查問題題型結(jié)構(gòu)，條件結(jié)論變式方向，變式題組。

（5）對考查問題進(jìn)行歸納。首先，針對高考內(nèi)容分別進(jìn)行分類，一按教材分類（14 類），二按高考試題分類（按近三年全國卷試題按內(nèi)容歸類）。其次，歸納各類試題的考點(diǎn)，弄清考查問題及其分層問題、考查內(nèi)容及其分層內(nèi)容、大題模胚及其得分點(diǎn)、小題題型結(jié)構(gòu)及變式題目。就題目而言，包括例題、課堂練習(xí)題、作業(yè)題、測試題。

（6）對考查問題及其考查內(nèi)容進(jìn)行歸納分析。要給出每一道題的完整解答過程。根據(jù)解答總結(jié)考查內(nèi)容（含學(xué)科核心知識和思想方法，板塊內(nèi)的主要知識方法、技能，涉及的主要概念、原理、法則），歸納出這類題考查的問題（高考考查問題，考查問題包含小問題，小問題涉及的具體問題）。

（7）大題模胚構(gòu)建。明晰試題考查的本質(zhì)，整理命題思路（如何給出題目的條件，適合解決什么問題），設(shè)計(jì)命題藍(lán)圖（將命題思路具體化，給出題目基本形式）。

（8）弄清小題題型結(jié)構(gòu)。弄清本小題考查的本質(zhì)，總結(jié)條件的變化形式，有哪一些條件，它們?nèi)绾巫兓豢偨Y(jié)結(jié)論的變化形式，有哪一些結(jié)論，如何變化。

二、明晰高考數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)

認(rèn)真對 2015 年、2016 年、2017 年高考數(shù)學(xué)全國卷試題和高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行研究，找到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和高考數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性。

三、明晰高考數(shù)學(xué)的研究立足點(diǎn)

文獻(xiàn)研究—制訂過程規(guī)劃—案例分析（作品分析）—調(diào)查研究（問卷調(diào)查、座談、個(gè)案調(diào)查）—擬定數(shù)學(xué)高考的模胚題—設(shè)計(jì)模胚題的變式題—構(gòu)建高中數(shù)學(xué)問題的框架。

四、確定高考數(shù)學(xué)研究路線

理論基礎(chǔ)研究（包括對高中生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展理論的把握、高考及其相關(guān)研究成果的把握、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)對高考各知識點(diǎn)的認(rèn)知要求）—現(xiàn)狀調(diào)查研究（問卷調(diào)查、訪談、個(gè)案調(diào)查，內(nèi)容包括廣西近年師生對高考的認(rèn)識情況、廣西高中生近年高考成績狀況、數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)知發(fā)展?fàn)顩r）—個(gè)案研究（高考現(xiàn)狀及經(jīng)驗(yàn)的研究）—作品分析（廣西近年高考試題研究、學(xué)生答題研究）—理論建構(gòu) 1（擬定高考數(shù)學(xué)的模胚題）—理論建構(gòu) 2（設(shè)計(jì)模胚題的變式題）。

總的來說，近幾年的高考數(shù)學(xué)試題注重考查學(xué)生的邏輯推理能力、實(shí)踐能力、關(guān)鍵能力、創(chuàng)新意識，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱內(nèi)容和要求的一致性。基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)研究，不僅對考生和高三教師具有一定的指導(dǎo)意義，而且對更新教師教學(xué)理念和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)都會產(chǎn)生積極的影響。

【參考文獻(xiàn)】

[1]常 磊，鮑建生.情景視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[M].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（4）

[2]常毓喜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何應(yīng)對高考考試內(nèi)容的變化以及核心素養(yǎng)的提出[J].中國考試報(bào)，2017（2）

【基金項(xiàng)目】本文是廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃 2017 年度廣西考試招生研究專項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)高考問題的內(nèi)容研究”（2017ZKS010）的部分研究成果。

（責(zé)編 盧建龍）