高中數學集合問題的解題技巧

李佳樂

【摘 要】在高中數學學習中集合屬于比較重要的內容，剛開始學習只是了解一些相關概念，但是學習時間長了，會發現有些同學對集合概念的了解還是不夠透徹，這樣會對自己以后解答集合問題有很大的影響。這里總結了關于高中數學集合概念常見的一些解題方法，供同學們參考。

【關鍵詞】高中數學；集合概念；解題方法

本文從數學集合中定義法、數形結合、列舉法、具體化法等方面來解決問題。

一、定義法

在高中集合問題中選擇定義法解題，就是根據數據定義來解題，該方法是針對事物客觀、本質的特點進行解題，這也需要數學集合題具有明顯的數據定義特征，能夠直接、明了的突出是根據定義出題的。

例1：已知集合A={x|x2-4x+w=0}，B={x|x2+px+t=0}，其中A∪B={-1，3，5}，A∩B={-1}，求實數w，p，t的值。

解析：∵B∩A={-1}

∴-1∈A

將x=-1帶入x2-4x+w=0中，得到w=-5.

∴A={-1，5}，又A∪B={-1，2，3}

∴B={-1，3}.

∴（-1）+3=-p，（-1）×3=t，

∴p=-2，t=-3，w=-5。

變式：已知集合A={x|x2+dx+a=0}，B={x|x2+nx+6=0}，其中A∩B={2}，A∪B=B，求實數n，d，a的值。

解：∵A∪B=B，

∴A包含于B，而且A∩B={2}，將其帶入A和B集合方程內，得到4+2d+a=0，n=-5.

所以，B={2，3}；

①A=B，所以d=n=-5，a=6；

②A與B不相等時，所以A={x|x2+dx+a=0}，只有一個解；即x2+dx+a=0有且只有一個解x=2；

d2-4a=0；4+2d+a=0；

所以：d=-4，a=4.

在解析集合問題時，選擇分類討論方法，需要對結合概念掌握比較熟練，這樣才能更好的進行解題。

二、數形結合法

對于高中集合問題，選擇數形結合法主要就是利用畫圖來幫助解題，這樣可以比較直觀的理解問題，了解問題的特點，將復雜的問題簡單化，從而找出解決方法。

例2 集合A={（x，y）|y≤-|x|+c}，B={（x，y）|y≥■|x-2|}，其中A∩B≠？覬.（1）求c的取值范圍；（2）假如x+2y最大的值是9，而且（x，y）∈A∩B，解出c的值。

解析：（1）根據上述兩個集合可以得到：集合A中y=-|x|+c的圖像，同時得到集合B中y≥■|x-2|圖像，見圖1，得到A∩B≠？覬，則c≥1.

（2） 設x+2y=d，則d≤9，將公式轉變為y=-■+■，而■是y軸直線上的截距，d≤9，得到■≤■，因為（x，y）∈A∩B，所以，A∩B圖形中（0，■）是最高點，得到d=■

即c=■

如果是遇到兩個集合存在一定聯系的題型，可以選擇圖形解題的方式進行解題。首先，我們要掌握圖形解題的特點，其次，就是加深對問題的理解，才能提高解題的效率。

三、列舉法

在解析集合題型時列舉法是屬于基本方法，這種方法一般是解一些特征顯著的題型，根據給出的題目將主要內容進行列舉，之后找到與題目存在聯系的元素，進行解題。

例3：已知集合A={x|x2+dx+e≤0}，B={x|x2-2x-3>0}，而且B∪A=R，B∩A={x|3

解析：在結合B={x|x2-2x-3>0}

={x|x<-1或是x>3}

∵B∪A=R

∴A中至少有元素{x|-1≤x≤3}

∵B∩A={x|3

∴A={x|-1≤x≤3}

∴方程x2+dx+e=0中的兩個根是-1，4.

∴d=-3，e=-4.

即d和e的值分別是-3，-4.

解析這種類型的題，需要熟練掌握題目各元素的規律，根據自然數相關規律進行解題。

四、具體化法

在結合題型中具體化法是比較重要的方法，它需要我們能夠將抽象的問題具體化，在實際解題過程中，要能夠看懂題目的本質。

例4：已知集合D={x|x=d+16，d∈Z}；E={x|x=2e-13，e∈Z}，W={x|x=2w+15，w∈Z}，則D、E、F滿足關系（）。

解析：分析1：分析題目中元素區別和共性。

分析2：因為D集合是{x|x=d+16，d∈Z}，而E=={x|x=2e-13，e∈Z}。

根據集合W={x|x=2w+15=2W-13+28，w∈Z}，

所以D∩E=W。

五、結語

在高中數學中集合是考察比較多的題型，關于集合解題的方法也比較多。在實際解題過程中，要做到經常歸類和總結，熟練掌握各種解題的方法，這樣不僅可以提高個人解題速度，同時也能提高解題的成功率。

參考文獻：

[1]姜衛東.關于蘇教版高中數學教材中幾個問題的管見[J].教育研究與評論（課堂觀察），2016（2）：59-61.

[2]王躍輝.關于高中數學新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析[J].中學數學研究，2017（3）：1-3.