高考對圓錐曲線的考查及創新教學思路分析

張清強

【摘 要】圓錐曲線是高考數學的重點、難點和熱點，是高中數學學科的核心內容之一。在2017年普通高等學校招生全國統一考試理科卷中圓錐曲線的內容有24分，都是以中難題的形式出現。試題充分體現了以主干知識為重點，以通性和通法為方法，考查了平面解析幾何的思想、方法及學生的運算能力、數學素養。本文通過對圓錐曲線方程試題中所考查的知識點和解題方法進行分析，提出創新圓錐曲線教學的一些建議。

【關鍵詞】高考理科卷 圓錐曲線 創新教學

2017年高考全國卷理科卷在圓錐曲線方面的考點變化不大。就知識結構而言，體現了突出主干知識、回歸教材的思路，重點考查了圓錐曲線核心知識，體現了圓錐曲線與其他知識點的交匯。就對方法、能力的考查來看，試題有效考查了學生邏輯推理、數形結合、運算求解等方面的能力。在圓錐曲線的教學實踐中，我們多研究高考試題，在把握命題思路和特點的基礎上，創新教學思路，對于提高課堂教學效率和學生解題能力至關重要。

一、試題分析

例 已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.

上述例題是2017年普通高等學校招生全國統一考試理科卷中的試題，考查的是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系。

二、解題思路

解題思路：根據P3，P4兩點關于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經過P3，P4兩點，另外由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不經過點P1，所以點P2在C上，因此P2，P3，P4在橢圓上，代入其標準方程，即可求出C的方程；

先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設直線l的方程，當l與x軸垂直時，通過計算，不滿足題意，再設l：y=kx+m（m≠1），將y=kx+m代入x2/4+y2=1，寫出判別式，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x1x2，進而表示出k1+k2，根據k1+k2=-1列出等式表示出k和m的關系，從而判斷出直線恒過定點.

解題方法：（1）由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P3，P4兩點.

又由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不經過點P1，所以點P2在C上。因此1/b2=1，1/a2+1/4b2=1，進一步解得a2=4，b2=1，故C的方程為x2+y2=1.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且ItI<2，可得到A，B的坐標，進一步得t=2，不符合題設.

從而可設l：y=kx+m（m≠1）.將y=kx+m代入x2/4+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由題設可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km/4k2+1，x1x2=4m2-4/4k2+1.

而k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2

=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2.

由題設k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·（4m2·4）/（4k2+1）+（m-1）·-8km/4k2+1=0.

解得k=-（m+1）/2.

當且僅當m>-1時，Δ>0，于是l：y=-（m+1）/2·x+m，

即y+1=-（m+1）/2·（x-2），所以l過定點（2，-1）.

三、基于高考考查點的圓錐曲線創新教學策略

1.回歸本質 活學活用

圓錐曲線的定義是解答圓錐曲線試題、推導曲線方向的最根本依據，在圓錐曲線的定義中展示了三種曲線的性質與幾何特征，以圓錐曲線定義為基礎，也是解題最直接的方法。在圓錐曲線教學過程中，要貫徹“源于課本，高于課本”的原則。高考并不神秘，它注重對基礎知識、基本技能、數學思想方法的考查，很多試題的根源在于課本，經常是課本例題的變式題，在教學時只要弄清高考知識點及對學生基礎知識與應用能力的要求，重視課本的基礎作用，活學活用，就可以達到事半功倍的效果。

2.知識交匯 突破城規

圓錐曲線試題解答中熟練掌握基礎知識、強化通性通法、滲透數學思想才是解題的關鍵所在。高考命題的熱點是直線與圓錐曲線的位置關系，解題的基本思想在于將直線方程帶入曲線方程，結合韋達定理、判別式，這類綜合題涉及的問題較多，解題時要注重知識的交匯。在日常教學活動中，需要指導學生注重方法提煉，掌握好通性通法，才能在考試中有的放矢。

3.提升素養 創新發展

高考圓錐曲線試題注重基礎知識、基本方法與技能的訓練，注重數學思想的滲透，使學生綜合運用所學知識進行探索研究。在教學實踐中應著重培養學生的創新意識，可以通過一題多解、一題多變等方式強化學生的發散思維，激發學生的探索興趣。就高考考綱對能力的重新界定可以看出，高考試題考查的是學生解題過程中的知識運用、方法確定、算法選擇和創新意識。

本文所選擇的試題對圓錐曲線方程的考查主要還是通過常規問題考查基礎知識及基本思想方法。解答試題的關鍵在于根據題設所給出的幾何關系和條件，結合圓錐曲線定義，確立未知量方程或未知量不等式。從圓錐曲線在高考中所占的比重和分值，不難看出解析幾何內容在高中數學中的重要性，因解析幾何講究的是通性通法，在日常教學中不僅要指導學生熟練掌握基礎知識，還要注重數學思維與數學素養的提升，讓學生在思考、分析、理解的過程中，進行學習與創新。

參考文獻

[1]周虹.圓錐曲線教學中的思與行[J].科學大眾：科學教育，2017 （6） .

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