高中數學解題中構造法的運用

楊小敏

【關鍵詞】 數學教學；構造法；運用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A

【文章編號】 004—0463（2018）10—0112—01

高中數學是整個數學體系的重要組成部分，同時也是學生學習的重點和難點，如何將抽象的數學概念具象化，實現從未知到已知的轉化，則需要依賴構造化對數學問題進行化歸處理，以達到高效教學的目的。本文結合構造法的概念，對其在數學解題中的具體應用進行了探討，并提出了有效提升構造法在數學解題中應用成效的措施。

一、構造法概述

構造法是指，按照傳統的定向思維無法解決某些數學問題時，應根據題目中給出的已知條件和結論的性質，轉換解題角度，用新的思路去觀察、分析和理解題意，抓住相關條件與結論之間的內在關系，并在準確分析問題數據、外形以及坐標等內容的基礎上，借助滿足條件的數學對象快速地解決數學問題的一種方法。構造法成功地融合了數學化歸理念，以已知關系式或者是條件為原材料和工具，在思維中構造切實符合題意的數學對象，并將題目中所隱含的關系和性質通過新構造的數學對象清晰地展示出來，最終實現快速解題的目的。這一方法的運用，不僅可以提高數學解題的效率和質量，同時對于推動數學教學發展具有重要的意義。

二、構造法在高中數學解題中的具體應用

1. 在方程問題中的應用。方程構造在高中數學解題中運用比較廣泛，能夠在最短的時間內解決數學問題。方程問題與函數問題息息相關，都是利用題目中給出的數量關系，并利用幾何恒等式的多方位思想理念，將方程問題中的抽象元素簡單化，培養學生多角度思考問題的能力。例如，已知（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，證明m，n，x為等差數列。我們可以利用構造法構造新的方程為（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0 ，然后令？駐=（m-n）2-4（n-x）（x-m），根據題意得出？駐=0，那么可以得知構建的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0的實數根相等。由（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0 得出t=1，進而得到該方程中的兩個實數根都為1。根據韋達定理可以得出m+n=2x，最后可以證明m，n，x為等差數列。

2. 在函數問題中的應用。函數是高中數學學習的重點和難點，注重考查學生的邏輯分析能力。函數問題一般比較抽象和復雜，傳統的解題方法難以滿足現實的需要，因此，在高中數學函數問題中經常會用到構造法，將抽象的函數問題轉化為具體的問題，最大限度地降低函數解題的難度。例如，已知a、b、c∈（1，0），求證a（1-b）+b（1-c）-1<-c（1-a）。首先我們對題目進行移項處理得出a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1，然后再利用構造法構造函數f（a）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）。已知b、c∈（1，0），我們可以分別得到f（0）和f（1）這兩個方程式，其中f（0）=（b-1）（c-1），而f（1）=bc>0。由于f（a）為一次函數，圖象為一條直線，再加上a∈（1，0）這個已知條件，可以得出f（a）>0，最后得出a（1-b）+b（1-c）-1<-c（1-a）的結論。

三、高中數學解題中構造法的運用策略

1. 將構造法與其他數學解題方法有效結合，提高數學解題的效率。構造法作為一種高效的數學解題方法，并不是萬能的，有時候還是需要與其他數學解題方法相結合，將復雜的問題簡單化，在最短的時間內獲得解題思路，并解決數學難題。

2. 拓展學生多向思維，增強構造法的運用效果。高中數學本身比較晦澀難懂，如果僅僅依靠傳統的思維方式很難講清楚，因此，教師在教學過程中應加強學生多向思維能力的培養，促使學生突破原有的思維定勢，科學地運用構造法，并結合類比、聯想以及概括等思維方法，找出數學題目中隱含的條件、關系以及結論性質，有目的地構造數學模型，靈活快捷地解決數學難題。

3. 樹立轉化理念，提高理解能力。數學如果缺少直觀的形式概念，那么就很難找尋數學的本質，只有將數形結合理念融入到數學解題中，才能找出解題思路。因此，數學教師在教學過程中應有意識地引導和開發學生的轉化思維，使學生能夠對各種數學問題進行合理的幾何解釋，并養成利用圖形進行解題的習慣，進而培養學生的創造性，開拓學生的思維。此外，由于數形結合是數形信息與圖形信息的有效結合與相互轉化，因此，學生在運用數形結合思想時還要注意數形轉化的等價性，不要為了得出確切的圖形只考慮圖形的直觀性而忽略了圖形的精準度，進而使得數學解題過程難以有效跟進。同時充分掌握量與量、形與形以及量與形的動態變化規律，以動態的眼光看待數學元素，并通過多次分析和計算得出最佳的數學結論。

編輯：謝穎麗