大學數學創新教學中數學思維的培養

林燕

摘要：本文通過分析類課程的具體實例，從四個方面探討了如何在大學數學創新教學的實踐過程中循序漸進地培養學生的數學思維能力。關鍵詞：數學思維；分析類課程；創新教學中圖分類號：O13

文獻標志碼：A

文章編號：1674-9324（2018）20-0200-02 創新教學的目的是培養學生的創新思想和創新能力。大學數學創新教學的根本內涵是鍛煉學生的思維能力。大學本科數學專業分析類的相關課程，如數學分析、實變函數、泛函分析等，具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性等特點，一直以來都是學生學習的“重災區”。在創新教學的實踐過程中，通過教學模式和教學方法的革新，幫助學生克服困難，是任課教師的首要任務。數學思維的培養是克服這些困難的重要途徑，只有培養好學生的數學思維能力，從根本上改變傳統的形象的認知方式，使學生從數學最根本的角度去思考問題，用數學語言嚴謹地表達問題，才能真正學好這些課程。作為一名分析類課程的主講教師，如何在具體的教學過程中培養學生的數學思維能力，這是引導學生掌握學科特點，學好相關課程，增強創新能力的關鍵所在。一、加深對基本概念的理解要想從數學的角度去思考問題，首先需要有牢固的數學基礎，這就是對基本概念的掌握。數學中的基本概念是所有問題的基礎和出發點，基本概念掌握得是否牢固，理解得是否深刻，直接影響對知識點的運用。1.深入剖析定義的本質含義。分析學中第一個難以理解的概念就是極限定義。如何用靜態的ε-δ語言去刻畫動態的函數極限■f（x）=A，這是上課講授的重點和難點。首先需要明確，在ε-δ語言的四句描述[1]“？坌ε>0，？堝δ>0，當0<|x-x■|<δ時，|f（x）-A|<ε”中，第一和第四兩句是用來刻畫函數值變化趨勢的，用“|f（x）-A|<ε”來體現f（x）與A無限接近的程度。從這個角度來看，雖然寫的是“？坌ε>0”，實際上越小的ε對極限越有貢獻。在學習定義的過程中把這點理解到位了，后面講例題中涉及到用定義證明極限的時候，為了證明的需要有些地方會直接設“0<ε<1”，學生理解起來就不會覺得突兀了。第二和第三兩句是用來刻畫自變量變化趨勢的，用“|x-x■|<δ”來體現x與x■無限接近的程度，從這個角度來看越小的δ越能體現x趨于x■。在學習定義的過程中把這點理解到位了，后面涉及極限定義證明的時候，δ取小的技巧就變得理所當然了。“0<|x-x■|”是一個往往容易忽視的條件，這里出現問題說明對函數極限的本質沒有把握好。函數極限考察的是x無限接近x■時函數值f（x）的變化趨勢，是一個動態的過程，這與函數在x■點的行為無關，所以極限定義中并不要求x=x■。這個條件需要強調清楚，才能把函數極限的ε-δ語言和連續函數的ε-δ語言區別開來。2.從正反兩方面進行探討。數學中的很多問題，我們不僅要了解滿足條件的那些對象，也需要了解不滿足條件的那些對象。在教學過程中，不斷引導學生思考命題和它的否定命題，探討概念和它的否定形式，可以進一步加深對概念的理解。例如數集S有界，是指[1]？堝M>0，？坌x∈S，有|x|≤M。反過來，數集S無界就應該表達為？坌M>0，？堝x■∈S，使|x■|>M。另外，分析學中的一些概念本身就是用否定形式給出的，這其中最具代表性的就是“幾乎處處”的概念。命題π在集合E上幾乎處處成立，其本質是指在集合E中命題π不成立的點所組成的集合是一個零測度集。學生在學習定義的時候把這點理解到位了，以后涉及“幾乎處處”的問題，出發點就應該是去尋找命題成立的反面，也就是命題不成立的點集。 3.加強對等價定義的掌握。等價定義實現了從不同的數學角度對同一個知識點的刻畫，熟練掌握基本概念的等價定義，可以幫助學生從宏觀的角度加深對基本概念的理解，提高運用知識點的靈活性。例如“稠密”的概念[2，3]，X的子集E在X中稠密，既可以定義為？坌x∈X，？坌ε>0，？堝y∈E，使ρ（x，y）<ε，也可以定義為？坌x∈X，？堝{y■}？奐E，使y■→x。兩者分別從ε語言和極限的角度對“稠密”進行了刻畫，其本質是相同的。集合E是閉集[2，4]，既可以定義為E的聚點都在E中，也可以定義為E的界點都在E中，還可以定義為E=■（E的閉包）。學生在掌握閉集的等價定義的過程中，還可以加深對聚點與界點關系的理解。另外，選擇合適的等價定義，也可以提高解決問題的效率，起到事半功倍的效果。二、探究知識點之間的聯系從數學的角度去思考問題，就是把你的考察對象抽象成數學對象，然后運用各種數學知識點作為工具去研究它。這就需要掌握好各個知識點之間的聯系，建立起一個知識點之間的關系網。很多同學感覺在做題解決問題的時候沒有思路，無從下手，其主要原因就是對知識點的把握是孤立的，零散的，沒有建立起彼此之間的聯系。正確的學習方法應該是：每學習一個新的知識點，就自發去思考和前面所學的知識點之間的聯系，主動去建立這種相關性的思維，不斷豐富知識點之間的關系網。例如學習了內點、界點、外點、聚點和孤立點的概念[2，4]之后，就應該去探究它們彼此之間的關系。孤立點一定是界點，內點和非孤立點的界點是聚點，既不是聚點又不是孤立點則必為外點。這些相互關系的探討可以幫助學生加深對這五類點的理解。再畫圖結合具體的集合的實例，可以幫助學生掌握好這些抽象的概念。三、強化數學語言的表達強化數學語言的表達，是培養學生數學思維的重要途徑。有的學生對上課教授的內容能理解清楚，但是做作業的時候自己的意思表達不出來，或者寫出來的東西條理不清，邏輯混亂，這些都是在數學語言的表達上有所欠缺。數學語言的精煉與高度概括的特點，可以幫助學生從紛繁蕪雜的現象中直擊問題的核心。用數學的語言去描述問題，更有利于從數學的角度去思考問題。在教學過程中應該不斷強化數學語言的表達，引導學生實現文字表達與數學表達的自由轉換，這種轉換實際上就是數學思維的建立。例如集合語言就是實變函數中的常用表達方式。函數f在x■點連續，可以表達為？坌ε>0，？堝δ>0，使f（（x■-δ，x■+δ））？奐（f（x■）-ε，f（x■）+ε）。點P是集合E的聚點，文字表達為：在P的任意領域中，至少含有一個屬于E而異于P的點。可以簡單地用數學表達為：？坌ε>0，U■（P；ε）∩E≠？準。函數f在[a，b]上有上界M，可以表達為[a，b]？奐{x：f（x）≤M}。四、創建數學思維的環境創造數學思維的環境，是培養學生數學思維不可或缺的重要條件。老師的言傳身教往往能起到“潤物細無聲”的作用。教師除了教授知識，更應該注重對學生學習方法的培養。在教學過程中，可以不斷強化數學語言的表達，數學符號的使用，邏輯性的訓練等。不斷引導學生從數學的角度思考問題解決問題，從課堂知識引申到實際問題，可以提高學生對數學的興趣，這對學生數學思維的培養非常有利。另外也可以采取學習興趣小組的模式，引導學生學習和討論一些課外讀物。讓學生從“聽”的角度轉換到“講”的角度，再輔以老師提問作引導，更有利于學生從數學的角度去思考問題，提高學生數學語言的表達能力。綜上可見，教師在大學數學創新教學的實踐活動中，結合學科的特點，可以從加深對基本概念的理解、探究知識點之間的聯系、強化數學語言的表達、創建數學思維的環境這四個方面入手，循序漸進地培養學生的數學思維能力，觸類旁通地為其他學科的學習提供有利的條件。參考文獻：[1]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]程其襄，等.實變函數與泛函分析基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊）[M].北京：北京大學出版社，2001.[4]周民強.實變函數論（第二版）[M].北京：北京大學出版社，2003.