高中數(shù)列裂項(xiàng)相消法求和教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：在課標(biāo)的影響下，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的地位越來(lái)越高，教師也越來(lái)越重視數(shù)列教學(xué)，數(shù)列與人們的生活密切相關(guān)，在實(shí)際生活中得到廣泛的應(yīng)用。數(shù)列求和是數(shù)列知識(shí)考查的重要方式，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握、有效應(yīng)用，進(jìn)而在靈活變動(dòng)中尋求“求和”的新路徑。本文結(jié)合對(duì)教材的學(xué)習(xí)，就高中常用的數(shù)列求和方法——裂項(xiàng)相消法法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：數(shù)列；裂項(xiàng)相消法；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、引言

為了讓學(xué)生學(xué)好數(shù)列求和的有關(guān)知識(shí)，獲得一定的數(shù)學(xué)技能，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，基于此，結(jié)合課標(biāo)要求，本文提出了具體可行的教學(xué)策略。公式求和教學(xué)方面，采用討論交流相結(jié)合的方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)前 項(xiàng)和公式的概念性理解，總結(jié)公式應(yīng)用的類(lèi)型，講解具體例子，讓學(xué)生吸取靈活解題的技巧，積累做題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生理解公式的應(yīng)用滲透函數(shù)、方程思想；靈活運(yùn)用裂項(xiàng)相消法等解決綜合問(wèn)題；及時(shí)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法，形成知識(shí)體系。

二、裂項(xiàng)相消法教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)思想

裂項(xiàng)相消求和法是數(shù)列求和的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，是高考?？嫉囊环N方法。它作為解決數(shù)列求和問(wèn)題的一種常用方法，蘊(yùn)含了非常深刻的數(shù)學(xué)思想。從字面理解，“裂項(xiàng)相消求和法”是把數(shù)列的通項(xiàng)公式分成幾項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和。教師在裂項(xiàng)相消求和法教學(xué)過(guò)程中首先應(yīng)抓住“裂項(xiàng)”是手段、“相消”是關(guān)鍵、“求和”是目的這一本質(zhì)特征，如果沒(méi)有抓住這一本質(zhì)特征，就談不上應(yīng)用和創(chuàng)新；其次必須闡明問(wèn)題產(chǎn)生的背景、過(guò)程和結(jié)論的表述。因此，在教學(xué)時(shí)要充分啟發(fā)學(xué)生對(duì)裂項(xiàng)相消法來(lái)龍去脈的理解。

（二）學(xué)生情況與教材分析

裂項(xiàng)相消法內(nèi)涵豐富，課堂容量大，教師在授課時(shí)更多的是講解核心概念、基本原理，注重?cái)?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)。這也使很多學(xué)習(xí)被動(dòng)，自學(xué)能力差、依賴心理強(qiáng)的學(xué)生感到不適應(yīng)，不知道怎么學(xué)習(xí)。這需要教師去引導(dǎo)。裂項(xiàng)相消法是人教版必修5數(shù)列求和部分的延伸內(nèi)容，此方法在高中數(shù)列求和中占有極其重要的分量，因?yàn)樗芘c很多知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系，例如與函數(shù)、不等式、幾何、三角函數(shù)等，同時(shí)也涉及到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、遞推思想等數(shù)學(xué)思想。

（三）教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生能夠熟練掌握應(yīng)用裂項(xiàng)相消法給數(shù)列求和。

過(guò)程與方法目標(biāo)：學(xué)生能夠準(zhǔn)確辨認(rèn)出這類(lèi)問(wèn)題（應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和）的形式，掌握如何拆項(xiàng)，如何提系數(shù)，消去之后余項(xiàng)是什么。

情感與態(tài)度目標(biāo)：學(xué)生在自學(xué)與探究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的形成。

（四）教學(xué)重點(diǎn)：利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)之和。

（五）教學(xué)難點(diǎn)：在裂項(xiàng)相消法中如何“裂項(xiàng)”，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用。

（六）教學(xué)方法：講授法、練習(xí)法、啟發(fā)法、類(lèi)比法、引導(dǎo)法。

（七）教學(xué)過(guò)程：

教師：請(qǐng)同學(xué)們思考下面的幾個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：你們會(huì)求數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 嗎？

預(yù)設(shè)情景1：一些學(xué)生在看到問(wèn)題后就知道要用裂項(xiàng)法，直接問(wèn)學(xué)生怎么拆，看看學(xué)生拆的對(duì)不對(duì)？

預(yù)設(shè)情景2：學(xué)生不知道要裂項(xiàng)，而要把分母相乘，在通分。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生體會(huì)這種方式巨大的計(jì)算量，請(qǐng)學(xué)生思考為什么通分，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)其他方法來(lái)減少項(xiàng)數(shù)，觀察原式，繼而尋找規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生把

中的 分出來(lái)變成兩項(xiàng)，把 中的 分出來(lái)變成兩項(xiàng)， 中的 分出來(lái)變成兩項(xiàng)。對(duì)三個(gè)分?jǐn)?shù) 、 進(jìn)行觀察，由于分母不相同不易比較，于是通分變成如下 ，在觀察不難發(fā)現(xiàn)，后兩式相減即為前式，于是，總結(jié)出裂項(xiàng)的方法： ， 。

總結(jié)解題步驟：（1）裂項(xiàng)（把每一項(xiàng)都拆開(kāi)）（2）消（觀察特點(diǎn)，一正一負(fù)相抵消）（3）找余項(xiàng)

問(wèn)題2：數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 又怎么求呢？

教師：請(qǐng)同學(xué)們參照問(wèn)題1自己完成。完成之后，請(qǐng)同學(xué)們思考什么是裂項(xiàng)相消？

學(xué)生：數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能夠消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。

教師：回答得很好，同學(xué)們，裂項(xiàng)相消就是將數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差（或幾項(xiàng)之差），求和過(guò)程中一些正負(fù)項(xiàng)可以化簡(jiǎn)或抵消，使前n項(xiàng)和簡(jiǎn)化成幾項(xiàng)之和或之差的形式，這種求和法稱(chēng)為裂項(xiàng)相消法。運(yùn)用這種方法求和時(shí)，需要明確哪些項(xiàng)是抵消或保留，要仔細(xì)觀察，計(jì)算過(guò)程中可以將數(shù)列求和表達(dá)式的前幾項(xiàng)與后幾項(xiàng)寫(xiě)出來(lái)進(jìn)行比較，找出在求和中互為相反數(shù)的項(xiàng)或可以合并的項(xiàng)，以確保計(jì)算正確。將通項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)時(shí)，有時(shí)要對(duì)前面的系數(shù)作適當(dāng)變形，使拆開(kāi)的兩項(xiàng)之差（或幾項(xiàng)之差）與系數(shù)的乘積和原來(lái)通項(xiàng)保持等價(jià)關(guān)系。我們一起來(lái)看幾個(gè)例題。

例1（2011課標(biāo)全國(guó)卷）等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 ， .（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和.

分析：（1）只需通過(guò)已知條件求出 ， ；（2）可先求出 的通項(xiàng)，再將其轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消的方式求和.

解：（1）設(shè)公比為 .由 得， ，即 ，所以 。由 得， ，所以 .故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。

（2）因?yàn)?，所以

.故 。

所以 ，即數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 。

教師：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差，使正負(fù)項(xiàng)相消，則數(shù)列的和即為剩余的項(xiàng)的和，此為裂項(xiàng)相消法.使用此方法要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).由于每一項(xiàng)均可拆分為一正一負(fù)兩項(xiàng)，所以互為相反數(shù)的項(xiàng)合并為零后，剩余的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)必是一樣多的，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng).通常 ， 。

教師：在高考題型中，常常涉及以下裂項(xiàng)公式：

三、教學(xué)反思

教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人的認(rèn)知規(guī)律和事物普遍聯(lián)系的原理，應(yīng)體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的規(guī)律。學(xué)生在某些問(wèn)題的探索中，為尋求一般規(guī)律，往往先考查一些特例，通過(guò)對(duì)這些特例的歸納猜想，得到解決問(wèn)題的一般方法，這對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)至關(guān)重要，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主探索精神，也為學(xué)生的終身發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介： 楊靜梅（1984- ），女，云南玉溪人，曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師，主要從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論方面的研究。

基金項(xiàng)目：曲靖師范學(xué)院校級(jí)課題·曲靖市數(shù)學(xué)新課程實(shí)施情況調(diào)查研究·2012QN028