數形結合思想在高中數學中的應用探究

馮新玲

【摘要】數形結合思想是高中數學思想中非常重要的數學方法和數學原則，也是全面提高學生素質的重要方法之一，掌握好數形結合的思想是學習高中數學的關鍵，在數學教學中有至關重要作用和地位。它能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，給人以直覺的啟示，有利于分析題中的數量之間關系，豐富想象，化繁為簡，化難為易。對理解、掌握、運用數學方法和解決數學問題起到有效的推動作用。

【關鍵詞】高中數學 數形結合 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0126-02

數學是一門邏輯性較強的學科，它不僅要求學生具有一定的空間想象能力，還要求學生具有解答數量關系的能力。數形結合思想是一種很重要的數學思想，強調數和形的結合，數指的是數量關系，而形則指的是空間圖象，但數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。是高中數學新教材中的內容能很好的培養和發展學生的數形結合思想.教材中這一方法的滲透對發展學生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導性的作用，可對問題進行正確的分析、比較、合理聯想，逐步形成正確的解題觀.還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數學認知能力，從而提高數學素養。

一、數形結合的思路

在教學的過程中，學生是主要參與者，老師只起到引導、啟發的學生通過學習理論知識以及將知識轉化為實踐當中的應用能力，及時的給予學生提出新的問題，與學生一起探討思索新問題的解決方案和思路。把更多的時間留給學生，讓學生獨立的去思考如何解決問題，培養學生獨立自主的解題能力，使得學生的知識基礎過硬。學生從一些課本基礎的代數或者幾何問題作為練習將代數和幾何相互轉化，熟悉相互轉化的技巧，通過基礎的訓練之后，接觸一些有難度的代數幾何問題，將之用數形結合的方式解析出來，由此逐漸培養學生的做題技巧和做題能力。利用數形結合的思路可以解決一些數學問題，發現數與形的內在聯系，將會收到事半功倍的效果。數形結合不僅僅是一種解題的方法，然而作為一種重要的數學思想，可以拓寬學生的思路，可以實現將知識轉化為實際能力的過程，讓學生更快更有效的解決數學問題。

二、高中數學“數形結合”相互轉化的途徑

首先，“形”到“數”的有效轉換。高中數學教學中形到數的轉換有三種方式，第一是向量法，將幾何圖像進行向量化，將抽象的幾何圖像通過科學的推理轉換為精簡的代數化，特別是對于抽象的空間向量有著高效的作用。第二是解析法，針對相關的題目建立一目了然的坐標系，將復雜的幾何圖形變化轉換為坐標的簡單運算。第三是三角形法，將抽象的幾何問題與有跡可循的三角形相關聯，運用不變的三角定理來解決問題。其次，“數”到“形”的有效轉換。數到形的轉換大體概括為三個方面，第一是在解決方程或者不等式這類問題時，可以借助函數的圖像以及函數的性質來進行轉換解題。第二，可以通過對某個代數式的結構分析進行構造幾何模型，通過二者的已知條件進行相應的解題。第三，將代數式轉換為平面向量，利用平面向量的數量以及模的性質來尋求解題的規律。

三、數形結合思想在高中數學中的具體應用

1.數形結合思想在解函數問題中的應用。函數的圖像是函數關系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數的變化規律。函數圖像形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。

例1求函數y=x2-2x-3，xE（-1，2）的值域。

解析：所求函數為二次函數，由于函數是非單調的，所以并不能代端點值去求值域，因此需要借助圖像來觀察，如右圖：（略）

借助圖像的直觀表達可知道，具有區間范圍的該二次函數的圖像應為黃色區域部分，此函數的最小值是在對稱軸處取得，即當x=1時，y=-4。從而該函數的值域為：（0，-4）。

小結：對于此類問題是學生的常見出錯點，學生們習慣于直接帶入端點值得出其值域，因此對于給定區間上的二次函數值域問題，培養學生數形結合的思想是非常重要的。

2.數形結合思想解答不等式問題中的應用。不等式靈活變換的特點和廣泛應用的價值，對培養學生能力，發展學生思維提出了較高的教學要求。

例2求證：（a與c、b與d不同時相等）

分析：考察不等號兩邊特點為，其形式類同平面上兩點間距離公式。在平面直角坐標系中設A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如圖，當A、B、O三點不共線時，|AB|<|AO|+|BO|.

當A、B、O三點共線，且A、B在O點同側時，|AB|<|AO|+|BO|。

當A、B、O三點共線，且A、B在O點異側時，或A、B之一與原點O重合時，|AB|=|AO|+|BO|綜上可證。

3.數形結合思想在解析幾何問題中的應用

“坐標法”是研究平面解析幾何的最基本方法，通過建立適當的直角坐標系，利用點的坐標——數字特征來刻畫平面圖形的結構特征，利用代數的方法求解平面圖形中的推理、運算問題，將幾何問題“代數化。

例3已知A（1，1）為橢圓x2/9+y2/5=1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點.求|PF1|+|PA|的最大值和最小值。

解：由x2/9+y2/5=1可知a=3，b=，c=2，左焦點F1（–2，0），右焦點F2（2，0）.由橢圓定義，|PF1|=2a–|PF2|=6–|PF2|，

∴|PF1|+|PA|=6–|PF2|+|PA|=6+|PA|–|PF2|

4.數形結合思想在解方程問題中的應用

例4設方程lx2-1l=k+1，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數的情況。

分析：我們可把這個問題轉化為確定函數y1=lx2-1l與y2=k+1圖像交點個數的情況，因函數表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：①當k<-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解；②當k=-1時，y1與y2有兩個交點，原方程有兩個不同的解；③當-10時y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數有二個。

參考文獻：

[1]劉志英.淺談數形結合思想在高中數學中的應用[J].中學生數理化，2013（5）.

[2]孔令偉.數形結合思想在高中數學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012.