基于APOS理論下的高中數學概念教學

陳一梅

【摘 要】APOS理論是由美國數學教育學家杜賓斯基等人提出的一種建構主義的數學學習理論。該理論展現了數學概念形成過程需經過四個階段：活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Scheme）。基于APOS理論的指導下，以“等差數列”的概念教學為例來探究APOS理論在高中數學概念教學中的應用，并進行思考。

【關鍵詞】APOS理論；高中數學；概念教學；等差數列

1.引言

APOS理論模型是在美國數學教育學家杜賓斯基等人共同努力下創立的一種建構主義的數學學習理論模型，該理論模型強調數學概念學習實質，提出數學概念學習過程是一種自身的心理構造且必經思維的活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Scheme）四個階段。概念教學是高中數學教師教學中的瓶頸，又是高中數學教學中至關重要的環節，主張概念是不可直接學習。在傳統模式下的概念教學中，教師一以貫之的盛行做法是：一個概念→幾點注意→例題講解→海量刷題，讓學生在概念教學時“吃快餐”，且在對概念的認識還處于蒙昧無知的情形下就把學生當成解題的奴隸，以此來加深學生對概念的記憶與理解。然而，該做法常常欲速不達，最終學生還是對概念一知半解。因此，探索高效的數學概念教學方法已是大勢所趨，同時是高中數學教師的急切需求。本文基于APOS理論下，以“等差數列”的概念教學為例探究高中數學概念教學，以期拋磚引玉。

2.教學設計

2.1教材分析

等差數列的概念是人教版A版必修五第二章第二節的內容。首先，等差數列是一種特殊的數列，數列是一種特殊的函數。然而學習本節內容之前，學生已經習得一次函數概念和數列基本知識。并且在必修二的學習中學生已獲悉直線的方程是二元一次方程，如果任取直線上不同的兩點（x■，y■），（x■，y■），可得直線斜率k=■（x■≠x■）。在等差數列中任取不同的兩項a■與a■（m≠n，且m，n∈N■），得等差數列的公差d=■，可知等差數列的公差求法與直線斜率求法相似；其次，教材起初由實數的運算和性質出發，讓學生切實感受生活中的數學價值。緊隨其后的是“觀察”和“思考”欄目，旨在給予學生自主探究、學習的空間，培養學生獨立思考的能力。通過等差數列概念的學習可為今后學習等比數列的概念和數列極限夯實基礎；最后，教材有意編排諸多等差數列的實例，力促讓學生由實際生活出發構建等差數列的模型，運用等差數列知識解決實際生活當中的簡單問題，在此過程中促進學生牢固掌握和深入理解等差數列的概念。

2.2教學目標

知識與技能：理解等差數列的概念、公差、等差中項，掌握等差數列的通項公式，能運用通項公式解決實際生活中的簡單問題。

過程與方法：通過對等差數列概念的歸納概括且經歷通項公式的推導過程，體驗從特殊到一般的認知規律，培養學生的觀察、歸納、推理、分析能力，滲透歸納與化歸思想。

情感、態度與價值觀：通過從實際生活的例子出發，感受生活中處處有數學，體會數學價值，提高學生的自主探索能力，養成良好的數學探究習慣。

2.3教學重、難點

教學重點：等差數列的概念，通項公式的推導。

教學難點：等差數列的概念，通項公式的推導與靈活應用。

2.4基于APOS理論下的教學過程

（1）活動（Action）階段——情境引入，激發興趣

APOS理論的活動階段，目的在于讓學生切實體驗活動過程，構建概念框架。概念教學中教師可以引導學生復習上一節課所學的數列定義、通項公式、遞推公式，隨后導入情境，激發興趣，引發學生自主探索思考。

情境1：在日歷中任意框選n×n的n■個數字，如圖1所示，并橫看，豎看，斜看，觀察框選的數字，歸納總結這些數字的特點。

情境2：一長方形桌子剛好坐下6人，現將桌子按圖2所示拼在一起，試計算第n張可坐幾人？

情境3：玩“數字接龍”游戲，具體為教師提供一個數字，例如數字3，學生從該數字說起，但每逢這個數的倍數要用拍掌代替。

情境1旨在通過生活事物（日歷），引發學生觀察、發現規律；情境2讓學生自主探索規律，并利用規律計算所求；情景3由游戲活動出發，促使學生在玩中意識到游戲特征（每隔3位同學就要拍掌）。總之，學生通過情境活動環節的體驗，可深入了解等差數列特點，為概念的形成做好鋪墊。

（2）過程（Process）階段——探索規律，形成概念

APOS理論的過程階段，目的在于讓學生自主探索規律，并進行概括總結，形成概念。概念教學中引導學生對以上3例情景進行探究歸納，概括共同特征，最后總結且表述概念。教師要強調概念中“從第2項起”“每一項與它的前一項的差”“同一常數”字眼，并舉反例說明，加深學生印象，促使學生深入理解概念。對于等差數列通項公式的證明，教師提示學生從等差數列的定義入手，由學生自主嘗試證明。最終教師巡視學生的證明情況，給予輔助，選取學生中典型證明方法并在班級上展現出來。

學生1（累加法）：

∵{a■}是等差數列

∴a■-a■=d，a■-a■=d，a■-a■=d…a■-a■=d

對上面各式等號兩邊進行相加，得結果a■-a■=（n-1）d，則a■=a■+（n-1）d。

（下轉第7頁）（上接第5頁）

學生1（迭代法）：

∵{a■}是等差數列

∴a■=a■+d=a■+d+d=a■+2d=a■+d+2d=a■+3d=…=a■+（n-1）d，

∴a■=a■+（n-1）d

……

由此可知，已知等差數列的首項a■與公差d，則可求其通項公式。

（3）對象（Object）階段——概念鞏固，內化提升

APOS理論的對象階段，是對概念進行“加工”，促使能夠深入理解概念本質。概念教學中可選取典型習題，讓學生通過習題演練，鞏固概念并內化概念認知結構。

例1：{a■}為等差數列，下列數列還是等差數列的是__

A.{a■+3} B.{a■■} C.{a■-a■} D.{2a■} E.{2a■+n}

本題考察學生對等差數列概念的理解，解題的關鍵在于判斷變形后的數列是否還為含有n的一次函數或常數列，故答案為A、C、D、E。

例2：兩等差數列a，x■，x■，b和a，y■，y■，y■，b，其中a≠b，公差分別為d■和d■，則■為____。

本題考察學生對公差的理解與應用能力，解題的突破口要抓住兩數列都含有a，b，所以把d■和d■都用含a，b的式子表示出來，算出■=■（d■=■，d■=■）。

例3：數列{a■}和{b■}都為等差數列，其中a■為25，b■為75，a■+b■為100，則數列{a■+b■}的第10000項是__。

本題重在考察學生的觀察與知識綜合運用能力，首先要意識到數列{a■+b■}仍為等差數列，且a■+b■=100，a■+b■=100，得知數列是常數列，則a■+b■=100。

（4）圖式（Scheme）階段——歸納總結，構建圖式

APOS理論的圖式階段，是對四個階段的概括整合，圖式的構建有助于完善概念認知結構。概念教學中教師可以以提問方式，讓學生在解決問題中歸納總結。

提問1：證明一個數列是等差數列有哪幾種方法？

[歸納總結]①定義法：a■-a■=d（常數），其中n≥2且n∈N■；②等差中項法：2a■=a■+a■，其中n≥2且n∈N■。

提問2：等差數列的通項公式是否還可以變形？

[歸納總結]任取m，k∈N■，由等差數列{a■}，得a■=a■+（m-1）d，a■=a■+（k-1）d，兩式等號兩邊相減，可得a■-a■=（m-k）d，則a■=a■+（m-k）d。

提問3：等差數列與一次函數有何異同點？

[歸納總結]等差數列{a■}中，a■=a■+（n-1）d，變形得a■=nd+（a■-d），n∈N■。當d=0時，a■=a■，數列{a■}是常數列，即是常函數；當d≠0時，a■是關于n的一次函數，圖象為一列孤立點，即為直線y=dx+（a■-d）的橫坐標是正整數所對應點的集合。而一次函數y=kx+b（k≠0），其圖象是一條連續的直線。觀察圖象可得，等差數列{a■}的公差d就是直線y=dx+（a■-d）的斜率，于是d=■，即為斜率公式。

3.教學反思

APOS理論下的概念教學必需經歷活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Scheme）四個階段，缺一不可。該四個階段不是在一節課或每一課都要體現出來，是要經過一定時間的“洗禮”，讓數學概念在學生的頭腦中進行“沉淀”：經歷一些探究等活動，逐漸由“過程”過渡到“對象”的理解，后再由“對象”鍛造“圖式”的構成。這樣環環相扣，循序漸進，促進概念的形成。另外，在教學過程中教師要充分考慮概念的不同特點、學生的學習心理特點和認知規律，再科學合理地針對每一階段進行教學設計。課堂上在四個階段中應該大力挖掘學生的內在潛能，激發學生的好奇心，培養學生的創新能力，最大化地發揮出APOS理論的作用，促進概念教學的效果達到最佳。

【參考文獻】

[1]角碧波，張湘君.基于APOS理論的高中數學概念教學——以“直線的傾斜角與斜率”的概念教學為例[J].新課程教學（電子版），2015（02）：7-10

[2] 王靜，段有強.APOS理論指導下的初中數學概念教學——以“二次函數”為例[J].數學教學通訊，2016（14）：7-9