于無疑處生疑，于細微處追究

杜紅笑

[摘 要] 初中數學教師的以身作則、勤學好問、于無疑處生疑、于細微處追究的習慣有利于培養學生的科學精神. 在習題教學中，在關鍵轉折點處設疑，啟發學生思考探究，步步深入，有利于學生培養反省思維，也能發展其科學精神.

[關鍵詞] 科學精神；反省思維；習題教學

《中國學生發展核心素養》（以下簡稱“素養”）以培養“全面發展的人”為核心，提出了：文化基礎、自主發展、社會參與3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新等六大素養，作為數學學科，肩負著培養學生科學精神的重要使命.

《素養》中對科學精神的基本表現歸納為：（1）理性思維：崇尚真知，能理解和掌握基本的科學原理和方法；尊重事實和證據，有實證意識和嚴謹的求知態度；邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為等. （2）批判質疑：具有問題意識；能獨立思考、獨立判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定等. （3）勇于探究：具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等.

對于數學老師而言，尤其是初中數學老師，如何培養與發展學生的科學精神，我們總是說的多做的少，常常強調外在忽略自己，筆者認為：老師的科學精神就是最好的榜樣，唯有老師的勤學好問才能喚醒學生的質疑探究，老師要在那些貌似沒有問題的地方提出問題，方能以己之力撬動學生思考之門，啟迪學生嚴謹之科學態度，培養學生之科學精神. 試舉一例說明如下.

新疆青少年出版社出版的北師大版八年級《課時達標練與測》第14頁“思維訓練”中有這樣一道題（此題也是2012年廣州中考模擬試題）——

定義：可以表示為兩個互質整數的商的形式的數稱為有理數，整數可以看作分母為1的有理數；反之為無理數.

如不能表示為兩個互質的整數的商，所以是無理數.可以這樣證明：假設是有理數，則設=，a與b是互質的兩個整數，且b≠0，則2=，a2=2b2.因為b是整數且不為0，所以a是不為0的偶數.設a=2n（n是整數），所以b2=2n2，所以b也是偶數，這與a，b是互質的正整數矛盾.所以是無理數.

仔細閱讀上文，然后證明：是無理數.

完成此題的關鍵是讀懂前面的示例. 于是筆者就很認真地閱讀了示例，發現有兩處比較難懂（也是解析中最關鍵的轉折處），一是：設=，則2=，這是給等式兩邊同時平方得到的；二是：“a2=2b2，因為b是整數且不為0，所以a是不為0的偶數”，此處最難理解，由a2=2b2可以直接得到a2是b2的2倍，即a2是偶數，但為什么解析給出的是“a是不為0的偶數”？很明顯，a2是偶數和a是偶數并不等同，此處需要深究. 通過與陜西省初中數學交流群中朋友的討論，我們可以這樣理解：在有理數范圍內，如果一個整數的平方是偶數，那么這個整數也是偶數. 因為a2=2b2，a2中含有因數2，所以a2是不為0的偶數，又因為a是整數，所以a也是不為0的偶數，即a是2的倍數. 這是對原解析的第一次質疑和深究.

細細再想：上面推理合理的前提是“在有理數范圍內，如果一個整數的平方是偶數，那么這個整數也是偶數”這一結論的正確，可是怎么說明這一結論的正確性呢？經過查找與思考，我們可以給出如下證明：（1）先假設a不是偶數時，a2也不是偶數，利用偶數與奇數的非此即彼，可以推斷a2是偶數時，a是偶數. （2）假設整數a不是偶數，那么a可以寫成a=2k+1（k為整數），a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=2（2k2+2k）+1. 因為k為整數，所以2k2+2k為整數，所以2（2k2+2k）為偶數. 所以2（2k2+2k）+1為奇數. 可證得a不是偶數時，a2也不是偶數. 反之可證“當一個數的平方是偶數時，這個數也是偶數”是正確的.

當我們想清楚了以上種種結論之后，我們對此題的解析才算是條分縷析. 接下來，我們按照此解法來完成對“是無理數”的證明：假設是有理數，則設=，a與b是互質的兩個整數，且b≠0. 給等式的兩邊同時平方，可得5=，a2=5b2 ①. 因為b是整數且不為0，所以a不為0且為5的倍數.設a=5n（n是整數），代入①中，得（5n）2=5b2，所以25n2=5b2，化簡可得b2=5n2，所以b是5的倍數. 所以a和b有相同的因數5. 所以a與b不互質. 這與原假設a，b是互質的正整數矛盾，所以原假設不成立，所以是無理數.

這樣的證明思路與給出的解析思路完全一致，吻合度極高，貌似完美，可是細細追究，也有一處有待商榷：怎么由“a2=5b2，因為b是整數且不為0，所以a不為0且為5的倍數”呢？不應該是由a2=5b2得到a2是5的倍數嗎？由a2是5的倍數能推導出a是5的倍數嗎？這時我們就發現和解析中面臨了同一個問題：是否有“在有理數范圍內，如果一個整數的平方是5的倍數，那么這個整數也是5的倍數”這樣的結論？

同樣的，我們類比剛才的反證法：先證a為整數，a不是5的倍數時，a2也不是5的倍數，從而反證“a2是5的倍數時，a是5的倍數”正確. 證明如下：假設整數a不是5的倍數，那么a可以寫成a=5k+n（1≤n≤4且n，k為整數），則a2=（5k+n）2=25k2+10nk+n2=5（5k2+2nk）+n2.因為n，k為整數，所以5k2+2nk為整數. 所以5（5k2+2nk）為5的倍數. 又n=1，2，3，4時，n2不是5的倍數，所以a2不是5的倍數. 所以a不是5的倍數時a2也不是5的倍數. 反之可證，“當一個數的平方是5的倍數時，這個數也是5的倍數”是正確的.

到此，我們才深深理解了此題的真正意圖，也理解了這道題從解法示例到解法應用的一脈相傳，密切聯系，也能體會到由此題拓展開去的數學思考是多么博大精深，富于啟發.

如果多想，我們還能根據此題的推演過程提出猜想：“對于一個正整數a，如果a2是某個整數b的倍數，那么a也是b的倍數. ”至于對或不對，留給讀者論證吧.

回顧本題的解決過程，我們在類比中不斷追問，在已有的思路中尋找困惑，面對新問題，我們不斷追索，尋找解決之路，這有利于培養學生的科學精神.

初中是學生思維品質養成的黃金階段，更是他們對待科學、對待人生、對待世界的態度的養成階段，唯有在此時種下善思考、多質疑、勤探究、打破砂鍋問到底的、嚴謹的科學精神的種子，未來才能成為一個愛思考、會思考的人.