于無疑處生疑，于細(xì)微處追究

杜紅笑

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教師的以身作則、勤學(xué)好問、于無疑處生疑、于細(xì)微處追究的習(xí)慣有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神. 在習(xí)題教學(xué)中，在關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點處設(shè)疑，啟發(fā)學(xué)生思考探究，步步深入，有利于學(xué)生培養(yǎng)反省思維，也能發(fā)展其科學(xué)精神.

[關(guān)鍵詞] 科學(xué)精神；反省思維；習(xí)題教學(xué)

《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》（以下簡稱“素養(yǎng)”）以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，提出了：文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新等六大素養(yǎng)，作為數(shù)學(xué)學(xué)科，肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神的重要使命.

《素養(yǎng)》中對科學(xué)精神的基本表現(xiàn)歸納為：（1）理性思維：崇尚真知，能理解和掌握基本的科學(xué)原理和方法；尊重事實和證據(jù)，有實證意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度；邏輯清晰，能運用科學(xué)的思維方式認(rèn)識事物、解決問題、指導(dǎo)行為等. （2）批判質(zhì)疑：具有問題意識；能獨立思考、獨立判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定等. （3）勇于探究：具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等.

對于數(shù)學(xué)老師而言，尤其是初中數(shù)學(xué)老師，如何培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的科學(xué)精神，我們總是說的多做的少，常常強(qiáng)調(diào)外在忽略自己，筆者認(rèn)為：老師的科學(xué)精神就是最好的榜樣，唯有老師的勤學(xué)好問才能喚醒學(xué)生的質(zhì)疑探究，老師要在那些貌似沒有問題的地方提出問題，方能以己之力撬動學(xué)生思考之門，啟迪學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)之科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生之科學(xué)精神. 試舉一例說明如下.

新疆青少年出版社出版的北師大版八年級《課時達(dá)標(biāo)練與測》第14頁“思維訓(xùn)練”中有這樣一道題（此題也是2012年廣州中考模擬試題）——

定義：可以表示為兩個互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無理數(shù).

如不能表示為兩個互質(zhì)的整數(shù)的商，所以是無理數(shù).可以這樣證明：假設(shè)是有理數(shù)，則設(shè)=，a與b是互質(zhì)的兩個整數(shù)，且b≠0，則2=，a2=2b2.因為b是整數(shù)且不為0，所以a是不為0的偶數(shù).設(shè)a=2n（n是整數(shù)），所以b2=2n2，所以b也是偶數(shù)，這與a，b是互質(zhì)的正整數(shù)矛盾.所以是無理數(shù).

仔細(xì)閱讀上文，然后證明：是無理數(shù).

完成此題的關(guān)鍵是讀懂前面的示例. 于是筆者就很認(rèn)真地閱讀了示例，發(fā)現(xiàn)有兩處比較難懂（也是解析中最關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折處），一是：設(shè)=，則2=，這是給等式兩邊同時平方得到的；二是：“a2=2b2，因為b是整數(shù)且不為0，所以a是不為0的偶數(shù)”，此處最難理解，由a2=2b2可以直接得到a2是b2的2倍，即a2是偶數(shù)，但為什么解析給出的是“a是不為0的偶數(shù)”？很明顯，a2是偶數(shù)和a是偶數(shù)并不等同，此處需要深究. 通過與陜西省初中數(shù)學(xué)交流群中朋友的討論，我們可以這樣理解：在有理數(shù)范圍內(nèi)，如果一個整數(shù)的平方是偶數(shù)，那么這個整數(shù)也是偶數(shù). 因為a2=2b2，a2中含有因數(shù)2，所以a2是不為0的偶數(shù)，又因為a是整數(shù)，所以a也是不為0的偶數(shù)，即a是2的倍數(shù). 這是對原解析的第一次質(zhì)疑和深究.

細(xì)細(xì)再想：上面推理合理的前提是“在有理數(shù)范圍內(nèi)，如果一個整數(shù)的平方是偶數(shù)，那么這個整數(shù)也是偶數(shù)”這一結(jié)論的正確，可是怎么說明這一結(jié)論的正確性呢？經(jīng)過查找與思考，我們可以給出如下證明：（1）先假設(shè)a不是偶數(shù)時，a2也不是偶數(shù)，利用偶數(shù)與奇數(shù)的非此即彼，可以推斷a2是偶數(shù)時，a是偶數(shù). （2）假設(shè)整數(shù)a不是偶數(shù)，那么a可以寫成a=2k+1（k為整數(shù)），a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=2（2k2+2k）+1. 因為k為整數(shù)，所以2k2+2k為整數(shù)，所以2（2k2+2k）為偶數(shù). 所以2（2k2+2k）+1為奇數(shù). 可證得a不是偶數(shù)時，a2也不是偶數(shù). 反之可證“當(dāng)一個數(shù)的平方是偶數(shù)時，這個數(shù)也是偶數(shù)”是正確的.

當(dāng)我們想清楚了以上種種結(jié)論之后，我們對此題的解析才算是條分縷析. 接下來，我們按照此解法來完成對“是無理數(shù)”的證明：假設(shè)是有理數(shù)，則設(shè)=，a與b是互質(zhì)的兩個整數(shù)，且b≠0. 給等式的兩邊同時平方，可得5=，a2=5b2 ①. 因為b是整數(shù)且不為0，所以a不為0且為5的倍數(shù).設(shè)a=5n（n是整數(shù)），代入①中，得（5n）2=5b2，所以25n2=5b2，化簡可得b2=5n2，所以b是5的倍數(shù). 所以a和b有相同的因數(shù)5. 所以a與b不互質(zhì). 這與原假設(shè)a，b是互質(zhì)的正整數(shù)矛盾，所以原假設(shè)不成立，所以是無理數(shù).

這樣的證明思路與給出的解析思路完全一致，吻合度極高，貌似完美，可是細(xì)細(xì)追究，也有一處有待商榷：怎么由“a2=5b2，因為b是整數(shù)且不為0，所以a不為0且為5的倍數(shù)”呢？不應(yīng)該是由a2=5b2得到a2是5的倍數(shù)嗎？由a2是5的倍數(shù)能推導(dǎo)出a是5的倍數(shù)嗎？這時我們就發(fā)現(xiàn)和解析中面臨了同一個問題：是否有“在有理數(shù)范圍內(nèi)，如果一個整數(shù)的平方是5的倍數(shù)，那么這個整數(shù)也是5的倍數(shù)”這樣的結(jié)論？

同樣的，我們類比剛才的反證法：先證a為整數(shù)，a不是5的倍數(shù)時，a2也不是5的倍數(shù)，從而反證“a2是5的倍數(shù)時，a是5的倍數(shù)”正確. 證明如下：假設(shè)整數(shù)a不是5的倍數(shù)，那么a可以寫成a=5k+n（1≤n≤4且n，k為整數(shù)），則a2=（5k+n）2=25k2+10nk+n2=5（5k2+2nk）+n2.因為n，k為整數(shù)，所以5k2+2nk為整數(shù). 所以5（5k2+2nk）為5的倍數(shù). 又n=1，2，3，4時，n2不是5的倍數(shù)，所以a2不是5的倍數(shù). 所以a不是5的倍數(shù)時a2也不是5的倍數(shù). 反之可證，“當(dāng)一個數(shù)的平方是5的倍數(shù)時，這個數(shù)也是5的倍數(shù)”是正確的.

到此，我們才深深理解了此題的真正意圖，也理解了這道題從解法示例到解法應(yīng)用的一脈相傳，密切聯(lián)系，也能體會到由此題拓展開去的數(shù)學(xué)思考是多么博大精深，富于啟發(fā).

如果多想，我們還能根據(jù)此題的推演過程提出猜想：“對于一個正整數(shù)a，如果a2是某個整數(shù)b的倍數(shù)，那么a也是b的倍數(shù). ”至于對或不對，留給讀者論證吧.

回顧本題的解決過程，我們在類比中不斷追問，在已有的思路中尋找困惑，面對新問題，我們不斷追索，尋找解決之路，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.

初中是學(xué)生思維品質(zhì)養(yǎng)成的黃金階段，更是他們對待科學(xué)、對待人生、對待世界的態(tài)度的養(yǎng)成階段，唯有在此時種下善思考、多質(zhì)疑、勤探究、打破砂鍋問到底的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神的種子，未來才能成為一個愛思考、會思考的人.