“列舉策略”教學中的一次意外引發的思考

張曉霞

[摘 要]在列舉策略中，“窮舉法”是一種基本方法，它能通過分析對比所有可能方案找到最優方案。但是，“窮舉法”在具體操作時也會有一些障礙：如何避開“窮舉法”而選擇搭配法、如何有規律地進行列舉做到不重不漏、如何通過有限列舉進行歸納推理等，只有攻克這些難題才能真正發揮“列舉策略”的價值。

[關鍵詞]列舉策略；窮舉法；意外；思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0046-01

【教學案例1】 某教師在講解蘇教版教材五年級上冊“解決問題的策略”的例題時，出示題目：王大叔用22根1米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？

教師先讓學生自由操作解決問題。教師在巡視中，發現大多數學生都能采用“窮舉法”，有少數學生列舉不全面。教師展示列舉有缺漏的作業，引導學生有序列舉，然后讓學生在事先制作好的表格中填數列舉。反饋時，教師選取從10米長開始往后降級排列的方式集中展示（如表1）。

新授課結束后，在練習鞏固環節教師出示了一道題：學校食堂某天中午供應的葷菜有3種，素菜有4種。小紅選擇1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配方法？（葷菜：小炒紅燒肉，可樂雞翅，水煮肉片；素菜：葡萄黑醋漬蘿卜，茄汁焗黃豆，西蘭花圣誕樹，自制酸菜）

就在學生一門心思地列舉時（如表2），一位女生疑惑不解的樣子引起了教師的注意。教師問明原委，原來這位女生覺得這題就是學過的搭配問題，只需要列式3×4=12就可一步到位地完成求解。此法一出，其他學生都感到驚詫萬分。教師急忙救場……

一、診斷“病因”

課后，筆者與兩名學生代表交流。首先詢問降序排列列舉的學生：“你為什么要從10開始？”他難為情地說：“從書上看到的。”隨后筆者又詢問那個用一步乘法解決搭配問題的女生：“你怎么想到用乘法計算呢？”她理直氣壯地回答：“這道題本身就是求搭配種類數，用列舉法太麻煩了。”

問完學生，筆者回過頭再來詢問授課教師：“為什么選擇展示從10起頭開始往后排的作業？”授課教師回答：“從10起頭往后排，這是課本的成例。況且如果從1開始起頭，那么‘長=1，寬=10不符合長和寬的性質。教材這么做也是出于這方面的考慮吧。”筆者又問：“那位女生的意見明明是對，你為什么刻意回避？”授課教師有些沉不住氣地說道：“用窮舉法解決問題是本節課的教學目標，按她的說法展開新課就會跑題。”

二、剖析“病理”

本節課的教學目標是讓學生嘗試用“窮舉法”解決問題，遵循一定的規律做到完全列舉不重不漏，感受“窮舉法”的價值，形成思維的條理性和嚴密性。在備課時，我們應充分備好教材，并清楚認識學生的知識起點。反思上述教學過程，發現該教學主要存在三大問題。

問題一：在教學例題時，教師一般會循規蹈矩地從已知導出未知，并“列舉”出所有情況：首先根據條件“1米長的柵欄”推斷出長和寬只能是整數，再根據“22根1米長的柵欄”推理出長方形周長應為22米，最后由“面積最大”逆推出長和寬的配比。

問題二：常規教法都是先讓學生隨意列舉，然后引導學生從無序走向有序。其實，有序排列并非新知。許多知識都需要有序思考，循序漸進。因此，教學本課時不妨直接點中要害：“當基本事件比較多時，怎樣排列可以做到不重不漏？”學生自會調取有關經驗進行有序排列。指明方向比指導方法更實用。這樣就不必強求學生非得從10開始往后降級排列，而順從學生的初始思維，從最小的1開始一一列舉，至于“長寬比例不協調”這種擔憂純屬杞人憂天，因為“長”與“寬”是可以互換角色的。

問題三：從教學現場可以看出，教師備課時疏忽了學生以前學過的“搭配規律”可以列式迅捷求解，一一列舉確實是自找麻煩。

三、“病后”總結

好的教學應該能夠瞻前顧后，辯證地看待問題。我們可以通過這道習題“回頭看”——和搭配法對比，暴露出“窮舉法”的局限性；也可以通過另一題“向前望”，在學生用“窮舉法”順利解答后，擴大題中數據和基本事件頻次，讓學生感到“窮舉法”的煩瑣低效。教師可以在恰當的時機攤牌：“以后學了最小公倍數，不用窮舉就可以快速求解了。”學生最終明白：隨著知識的更新，問題的解決方式也會更新。

總之，不論有無出現案例中的意外，我們都應該給學生灌輸這樣的指導思想：策略是活的。而要想學生學到活的策略，教師的教法首先得活。

（責編 羅 艷）