數學聯結影響學生的數學理解研究

李朋

【摘 要】本文從實證的角度出發，論證優化聯結的學習理論對中學生在數學理解中的顯著性作用。經過實驗研究得到的結果表明：學生的數學理解水平與其聯結有密切的聯系，新舊知識的聯結強度對學生的數學理解有重要影響，知識本身各個表征之間的聯系與轉化能夠促進學生的數學理解，知識的聯結對學生遷移能力和創新思維有顯著性影響。

【關鍵詞】中學生 數學理解 聯結 轉化 遷移能力 創新思維

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05B-0037-03

聯結作為認知心理學的一種理論，認為事物之間是聯系，是相關的。在討論學習問題時，聯結主義是將具有神經元功能的大量單元組合成網絡，考查它們并行的動態特征。以此立場來看，所謂學習就是聯結權重的變化，是原來的聯結消失而產生一種新的聯結關系，或者說，聯結主義所謂的學習就是對聯結權重的適應性變化，通過聯結權重的改變以使輸出符合期望。

近年來，聯結作為一種能力逐漸引起教育學家的關注和研究。美國數學教師協會（NCTM）于 2000 年 4 月頒布了《數學課程標準》，其中提出了 5 條有關數學能力：“運算能力、推理能力、問題解決能力、數學聯結（eonneetion）能力、表達能力?！甭摻Y已經成為數學教育界研究的一種新動向。徐斌艷教授在《數學教育展望》一書中，將數學本質歸納為：統一主題、數學過程、數學聯結等，其中統一主題包括變換、數據和形狀三個方面，數學過程包括表征、應用、問題解決和推理，數學聯結包括數學思想和圖表。應該說統一主題屬于知識結點，數學過程屬于思維結點，而數學聯結則屬于觀念結點。李士琦教授認為：“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心里上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，那么才說明是理解了?！彼月摻Y理論正好為數學內部各概念、原理及實際問題應用之間聯系搭建起有效的橋梁。

在現行教學中，許多教師經常會碰到這樣的情況，看似“很清楚”的概念或原理，學生卻不能正確運用它們解決相關問題；另外，剛才還會解決的問題，進行相關的變式，或以另一種形式出現時，學生卻又不知所措。對于這樣的現象，筆者認為，一方面，是因為學生對數學基本概念、定理、法則等的本質內涵理解膚淺或者是根本不理解，一味地死記硬背、套題型做習題，這與教師過多注重“題海戰術”，忽視對概念和原理的理解有一定關系；另一方面，由于學生對學過的知識不能有效地聯結，使知識零亂堆放，形成單獨的個體，沒有使知識之間形成有效的聯結機制，造成思維中斷；再一方面，由于學生對概念和原理的認識趨于表面化，認識的形式單一化，沒有從全方位去理解，同時對問題展現的形式之間不能有效地進行轉化等，這些問題都是目前實際教學中迫切需要解決的問題。

結合學?！皵祵W智慧樹的生長及教學策略研究”課題以及我們長期深入教學一線的體驗，在文中，根據呂林海博士在《數學理解性學習與教學研究》中把數學理解分為“經驗性理解、形式化理解、結構化理解、文化感悟與理解”四個層次的基礎上，從‘中觀層面—— 以整體意義上的數學內容為著眼點，探討學生數學理解的層級發展及其具體內涵，將其劃分為經驗性理解、形式化理解、關系型理解和觀念性理解四個水平。數學聯結能在多大程度上促進學生的理解水平？通過什么樣的方式或策略提高學生的數學聯結？這需要實證。由此我們進行深入研究。

一、研究方法

（一）被試

本實驗選取桂林某縣高一年級的兩個班的學生作為研究對象，實驗班的人數為 57 人，對比班的人數也為 57 人。

（二）材料

1.學習材料

根據實驗學校的教學進度以及聯結學習理論的適應性，本次實驗的教學內容以人民教育出版社出版的《全日制普通高級中學教科書（必修）》第一冊（上）《第二章 2.6 節指數函數》為藍本，根據實驗學校學生的實際情況以及聯結認知理論，基于優化數學聯結學習的教學設計原則對指數函數教學內容進行必要的設計，同時在正式上課前對學生進行聯結理論的培訓和講解。

為了精確考查聯結對學生數學理解的影響，本實驗打破原有的傳統教學模式，在傳統教案“復習引入—— 新課學習—— 練習鞏固—— 概念應用”的基礎上，將前兩個環節變成情景的引入和問題的提出，后兩個環節綜合使用聯結學習理論加深對知識的理解，以使達到遷移創新的目的。

2.評估材料

其一，指數函數學習過程的評估材料。結合數學理解的水平層次和數學聯結學習理論，感受學生在學習過程中的反應以及學習結果的變化（成績）。

其二，函數學習的前后測材料。前測材料是用來確認所選擇的實驗班和對照班學生的數學理解水平，這由前測成績反映。后測材料是用來考查進行實驗教學后，兩個班的數學學習情況及變化，這由后測成績反映。

其三，附加評估材料。為了定性了解聯結學習理論對學生數學學習的影響，進一步確認這種教學理論對不同數學理解水平在學習過程中產生作用和變化。本研究在實驗前，根據前測成績將學生分為高、中、低三個層次，并在其中選取幾個具有代表性的個案，在實驗教學進行的過程中進行有意識的觀察，在后測后對其所得成績與前測成績進行比較，然后進行必要的訪談，從而確認聯結學習理論在實際的教學和學生學習中的有效性。

（三）數學理解的前、后測試卷的編制和評價

選擇以函數為測試內容，編制了一套試題，共 10 道大題，滿分為 100 分，測試時間為 50 分。所編制的試卷是結合數學理解的四個層次進行選擇和分布，其中，第 1 道題是開放題，用于了解學生對函數的感知；第 3，4，5 題考查學生函數的基本知識，主要用于考查學生的經驗型理解和形式型理解；第 6，7 題主要考查學生在對知識理解的同時能否加以綜合運用，是否具有遷移能力；第 8 到 10 題主要設置數學或生活情境，要求學生運用相關的數學知識來解決具體的問題，以使更好地掌握知識。

數學理解前后測試卷的評價方法主要采取各題目所占的基本分與在理解層次上的高低進行相應賦值，綜合給定一次計算的方式，其中，賦值分上按照理解層次高低進行增加：經驗型理解正確加 1 分，形式化理解正確加 2 分，關系型理解正確加 3 分，觀念型理解正確加 4 分。其中關系型理解的體現是正確把握知識點之間的聯系，觀念型理解主要是表現在能夠將數學知識綜合應用于具體生活情境之中，并能對問題進行正確解決的能力。試卷成績是綜合問題的基礎分、理解層次的賦值分、卷面分以及對學生在問題解決過程中遷移和創造性給予適當得分的部分。

（四）研究目的

本實驗以提高學生在數學學習過程中的數學理解水平為主要內容，以數學聯結為基本載體，以優化聯結學習的教學設計為教學策略，以提高學生數學理解能力，實證教學效果。

（五）研究方案

本實驗的實驗班與對照班分別選取不同的教學方案，同時給予前測和后測以及相應的聯結理論學習和培訓。實驗班采取優化聯結學習的教學設計方式，對比班采取傳統的教學設計方式。

具體的模式如表 1 所示：

表 1 實驗模式

實驗自變量（G） 前測 處理 后測

實驗對象 X1 不接受 Y1

X2 接受 Y2

（六）研究假設

1.實驗的教學效果優于傳統教學；

2.實驗教學能夠顯著地提高學生的數學理解能力。

（七）研究的時間與次數

本次實驗共歷時兩個月，從實驗預演到正式實驗共進行三次。

（八）研究數據的收集與處理

本次實驗的數據以面談、課堂觀察、試卷得分的方式進行收集，然后由研究者將其錄入到 SPSS13.0 軟件中。

二、研究結果及分析

（一）研究結果

具體見表 2、表 3、表 4、表 5、表 6。

（二）研究分析

根據實驗的目的和實驗的結果，我們主要從兩個方面進行分析。

1.傳統教學設計與優化數學聯結的教學設計的學習結果

在實驗之前我們對兩個班的學生進行了數學理解的前測并對前測成績進行獨立樣本的 T 檢驗，結果如表 2 所示，從兩個方面看：①方差齊性檢驗結果，F 值是 0.093，顯著性概率為 P=0.761>0.05，因此結論是兩組方差差異不顯著，即可認為兩組方差是相等的；②均值相等的 T 檢驗結果，T 值為 -2.666，自由度為 112，雙尾（2-tail sig） t 檢驗結果顯著性概率為 P=sig=0.009<0.05，可以得出兩個班的數學理解水平存在顯著性差異。在進行教學試驗后，我們對后測試卷的成績也進行獨立樣本 T 檢驗，結果如表 3 所示，從兩個方面來看：①方差齊性檢驗結果，F 值為 0.035，顯著性概率為 P=0.851>0.05，因此兩組方差差異不顯著，即認為兩組方差是相等的；②均值相等的 T 檢驗結果，t 值為 -4.615，自由度為 112，雙尾（2-tail sig）t 檢驗的顯著性效率 P=sig=0.000<0.05，可以得出兩個班的后測成績存在顯著性差異。

綜合上述，兩個班數學理解水平存在顯著性差異，但在后測 T 檢驗結果中，雙尾（2-tail sig）t 的顯著性概率比前測 T 檢驗結果中雙尾（2-tail sig）t 的顯著性概率更為顯著，即 P=sig=0.000<0.009；同時對比前后測的均值，如表 4 所示，發現在前測中實驗班的均值是 36.98，而在后測中均值變為 50.46；而對比班在前測中的均值為 31.12，在后測中均值變為 36.18，在前測中實驗班與對比班的均值差為 5.86，而在后測中兩班的均值差為 14.28，說明在實驗班與對比班數學理解存在差異的情況下，經過實驗教學，實驗班學生的數學理解水平相對前測有了很大提高，說明優化聯結學習的數學教學理論是有效的。當然，在 T 檢驗的量表中，我們也發現對比班在前測的均值為 31.12，而后測均值變為 36.18，說明在傳統理論教學中學生的數學理解水平也有進步，但是進步幅度不如實驗班，說明傳統教學也有其有效的一面，所以通過實驗說明優化聯結的學習教學優于傳統的教學。

2.優化聯結的數學學習教學在提高學生數學理解效果方面的表現

從上述前測獨立樣本 T 檢驗得知，所選的兩個優等班在數學理解水平上存在差異。在后面的實驗教學以及后測試卷解答中考慮到前測結果對其影響，我們在接下來的統計中采用協方差分析。我們將兩個班學生的前測成績（x）設為協方差，即協變量，將兩個班學生的后測成績（y）設為因變量，設兩個班所采用的不同教學方法（g）為自變量。

本實驗采用協方差分析的原因在于：①相對方差分析多了一個協變量，用于彌補實驗對無關因素的控制；②協方差分析在控制協變量過程中，能夠減少實驗的誤差，增加實驗研究的內在效度；③由于本實驗在前測時發現兩個班數學理解水平存在顯著性差異，故而通過協方差分析進行補救性統計分析，將前測的影響因素進行剔除。

對本教學實驗的后測成績進行協方差分析，從表 5 中可以得知，排除共變量（前測成績）對因變量（后測成績）的影響后，自變量（兩種不同的教學方法）對因變量所造成的實驗處理效果顯著，其中 F=13.476，P=sig=0.000，表示后測成績的高低全因受試樣本所接受的實驗處理（自變量）的不同而有顯著性差異存在。由于協方差分析檢驗結果達到了 0.05 的顯著水平，必須進一步進行事后比較，以得知是哪幾組受試樣本在因變量的平均數有顯著差異存在。

上述表 6 是在協方差分析事后的多重比較，比較的依據是以調整后的平均數組間成對差異，經過成對的事后比較結果可得知，對比班相對于實驗班的平均數的差異為 -8.82，而實驗班相對于對比班的平均數的差異為 8.82，所以第二組的實驗處理效果成績均優于第一組，表示接受第二組的受試者，其實驗處理后的效果顯著，比接受第一組的受試者好，所以說優化聯結的數學教學在提高學生數學學習效果方面表現是顯著的。

三、結 論

1.學生的數學理解水平與其聯結有密切的聯系；

2.新舊知識的聯結強度對學生的數學理解有重要影響；

3.知識本身各個表征之間的聯系與轉化能夠促進學生的數學理解；

4.知識的聯結對學生遷移能力和創新思維有顯著性影響。

【參考文獻】

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（責編 盧建龍）