巧用單位圓妙解三角題

廖海濤

[摘 要]利用單位圓，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，化解三角函數(shù)相關(guān)問題，以達(dá)到很好地解決問題的目的.

[關(guān)鍵詞]單位圓；三角函數(shù)；高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0036-01

在解決三角函數(shù)問題時(shí)，如果能夠抓住題目的結(jié)構(gòu)特征，充分挖掘隱含條件，尋找條件和結(jié)論與單位圓的關(guān)系，進(jìn)行合理的構(gòu)造，創(chuàng)設(shè)單位圓的解題意境，就能為三角函數(shù)問題的解決，開辟許多巧解妙證的路徑.

一、三角求值問題

【例1】 求值：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]= .

分析：本題中的角均為非特殊角，直接求值存在很大困難，而利用相應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式也比較難入手.而通過誘導(dǎo)公式的變換，并結(jié)合單位圓，利用直線的斜率問題來處理，則顯得直觀有效.

解：[sin40°-cos10°cos40°-cos80°]=[sin40°-sin80°cos40°-cos80°]，其幾何意義是點(diǎn)A（cos80[°]，sin80[°]）與點(diǎn)B（cos40[°]，sin40[°]）所在直線AB的斜率，又點(diǎn)A、B在單位圓x2+y2=1上，如圖1，取AB的中點(diǎn)C，可知∠COB=[12]（80[°]-40[°]）=20[°]，可得∠ODB=30[°]，則知直線AB的傾斜角α=180[°]-30[°]=150[°]，故原式=tanα=tan150[°]=-[33].

[點(diǎn)評(píng)]本題結(jié)合三角函數(shù)式的幾何意義，并通過引入單位圓，數(shù)形結(jié)合，及利用單位圓上兩點(diǎn)間所在直線的斜率，達(dá)到求解三角函數(shù)值的目的.

二、大小比較問題

【例2】 設(shè)a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，則a，b，c三者的大小關(guān)系為 .

分析：題中這些角都不是特殊角，求出值再比較行不通，但如果我們注意到角35°和55°的關(guān)聯(lián)：cos55°=sin35°，就容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分比較其各自函數(shù)值的大小.

解：由于a=sin33°，b=cos55°=sin35°，c=tan35°.如圖2所示作出三角函數(shù)線，數(shù)形結(jié)合可知，c>b>a.

[點(diǎn)評(píng)]利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過數(shù)形結(jié)合，直觀形象地判斷相關(guān)的大小問題，是解決三角函數(shù)值大小比較問題中的常見方法.

三、長(zhǎng)度確定問題

【例3】 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（cos130[°]，sin50[°]），B（cos70[°]，cos20[°]），則|AB|的值是 .

分析：本題聯(lián)想到點(diǎn)A、B是單位圓x2+y2=1上分別位于第二象限和第一象限的點(diǎn)，利用單位圓的知識(shí)加以分析即可求解.

解：結(jié)合誘導(dǎo)公式可得A（cos130[°]，sin130[°]），B（cos70[°]，sin70[°]），則點(diǎn)A、B是單位圓x2+y2=1上分別位于第二象限和第一象限的點(diǎn)，且∠AOB=130[°]-70[°]=60[°]，△AOB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴|AB|=1.

[點(diǎn)評(píng)]巧妙引入單位圓，結(jié)合單位圓的性質(zhì)，可以有效轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)間的距離問題為三角形的邊長(zhǎng)問題.結(jié)合單位圓中相關(guān)圖形的幾何性質(zhì)，可以有效轉(zhuǎn)化，達(dá)到求解相應(yīng)的長(zhǎng)度問題的目的.要注意數(shù)形結(jié)合與單位圓的性質(zhì)應(yīng)用.

四、不等式證明問題

【例4】 設(shè)α∈（0，[π2]），試證明：sinα<α

分析：通過數(shù)形結(jié)合，利用單位圓上的三角函數(shù)線，并結(jié)合三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)來比較各函數(shù)值與角之間的大小，進(jìn)而證明相應(yīng)的三角不等式.

證明：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓，設(shè)角α以x軸正半軸為始邊，終邊與單位圓交于P點(diǎn)，∵S△OPA

[點(diǎn)評(píng)]利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來，這就是三角函數(shù)線.利用三角函數(shù)線可以證明三角不等式，數(shù)形結(jié)合，形象直觀，有利于溝通三角與代數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系.

綜上，在解決三角函數(shù)問題及其他相關(guān)問題時(shí)，有時(shí)引入單位圓，利用單位圓本身直觀、形象、準(zhǔn)確、方便等特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使得三角函數(shù)相關(guān)問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，使解題思路清晰、方法明確，達(dá)到很好地解決問題的目的.

（責(zé)任編輯 黃春香）