淺談高中立體幾何證明的方法

欒心昊

[摘 要]研究立體幾何的證明方法，能提高學生的解題能力.

[關鍵詞]立體幾何； 證明方法；高中數學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0037-02

高中立體幾何的知識點散而多.從平面幾何到立體幾何，線線關系、線面關系、面面關系；平面幾何上的平行、垂直到立體幾何上的線面相交（線面垂直）、線面平行、面面相交（面面垂直）、面面平行.三角函數在立體幾何中的重要應用以及各種定理，再到空間向量在立體幾何中的重要應用.這些知識有規律的無規律的相互交織在一起，讓我們捉襟見肘.雖然知識點很多，但是仔細想來并不是毫無章法可言.

一、從題目的已知條件入手，通過層層推理，逐一論證，得出結論

【例1】如圖1，已知直棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ACB=90°]，[∠BAC=30°]，[BC=1]，[AA1=6]，[M]是[CC1] 的中點.求證：[AB1⊥A1M].

證明：[∠ACB=90°][?B1C1⊥A1C1]，又三棱柱[ABC-A1B1C1]是直三棱柱，所以[B1C1⊥]面[A1C]，聯結[A1C]，則[AC1]是[AB1]在面[A1C]上的射影，在四邊形[AA1C1C]中，[AA1A1C1=A1C1C1M=2]，且[∠AA1C1=∠A1C1M=π2].

[ ∴△AA1C1∽△A1C1M，∴∠AC1A1+∠MA1C1=90°，][ ∴AC1⊥A1M][，∴AB1⊥A1M].

二、增添輔助線

輔助線常用的有：中點連線，過某一特定的點作對邊的垂線，過某點作該邊的延長線或反向延長線，過特定的點作一邊的平行線，等等.這些輔助線有三種作用：一是構建橋梁；二是簡化圖形；三是隱藏條件明朗化.

【例2】 如圖2，在矩形[ABCD]中，[AB=33]，[BC=3]，沿對角線[BD]將[△BCD]折起，使點[C]移到[P] 點，且[P]在平面[ABD]上的射影[O]恰好在[AB]上.

（1）求證：[PB⊥]面[PAD]；

（2）求點[A]到平面[PBD]的距離；

（3）求直線[AB]與平面[PBD]所成角的大小.

分析：（1）[∵P]在平面[ABD]上的射影[O]在[AB]上，[∴PO⊥]面[ABD]，故斜線[BP]在平面[ABD]上的射影為[AB].

[∵DA⊥AB] ，[ ∴DA⊥BP]， 又[BC⊥CD]，[∴BP⊥PD].

[∵AD?PD=D][?BP⊥]面[PAD].

（2）過[A]作[AE⊥PD]，交[PD]于[E].

[∵BP⊥]面[PAD]，[∴BP⊥AE]，[∴AE⊥]面[BPD] .故[AE]的長就是點[A]到平面[BPD]的距離.

[∵AD⊥AB]，[DA⊥BC][?AD⊥]面[ABP][，∴AD⊥AP].

在[Rt△ABP]中，[AP=AB2-BP2=32]；

在[Rt△BPD]中，[PD=CD=33]，

在[Rt△PAD]中，由面積關系，得[AE=AP·ADPD=32×333=6].

（3）聯結[BE]，[∵AE⊥]面[BPD]，[∴BE]是[AB]在平面[BPD]的射影.

[∴∠ABE]為直線[AB]與平面[BPD]所成的角，

在[Rt△AEB]中，[sin∠ABE=AEAB=23]，

[∴∠ABE=arcsin23].

【例3】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為8，面的對角線B1C=10，D為AC的中點.（1）求證：AB1//平面C1BD；（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.

分析：（1）聯結BC1交B1C于點E，則E為B1C的中點，并聯結DE，

∵D為AC中點， ∴DE[?]AB1.

而DE[?]面BC1D， AB1[?]面BC1D.

∴AB1[?]面C1BD.

（2）由（1）知AB1[?]DE，則∠DEB或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角，

由條件知B1C=10， BC=8， 則BB1=6.

∵E三棱柱中 AB1=BC1，∴DE=5.

又∵BD=[32×8=43].

∴在△BED中 [cos∠BED=BE2+DE2-BD22BD·DE=25+25-482×5×5=125]. 故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為[125].

三、向量法

立體幾何證明，很多時候直接通過定理推理論證是無法得出結論的，這時候必須借助向量法來證明.第一步，以某個點為坐標原點建立空間直角坐標系；第二步，通過建立好的空間直角坐標系，用坐標的形式表示出對應邊長、對應點；第三步，通過向量的四則運算結合對應的公式、定理進行推導證明.

【例4】 如圖4，在正三棱柱[A1B1C1-ABC]中，[D]、[E]分別是棱[BC]、[CC1]的中點，[AB=AA1=2].

（1）證明：[BE⊥AB1]；（2）求二面角[B-AB1-D]的大小.

分析：如圖5建立空間直角坐標系.

（1）證明：因為[B（-1 ， 0 ， 0）]，[E（1 ， 0 ， 1）]， [A（0 ， 3 ， 0）]，[B1（-1 ， 0 ， 2）]， 所以[BE=（2 ， 0 ， 1）]，[AB1=（-1 ， -3 ， 2）]，故[BE?AB1=2×（-1）+0×（-3）+1×2=0]，因此，有[BE⊥AB1].

（2）設[n1=（x ， y ， z）]是平面[ABB1]的法向量，因為[AB1=（-1 ， -3 ， 2）]，[BB1=（0 ， 0 ， 2）]，所以由

[n1⊥AB1n1⊥BB1?n1?AB1=-x-3y+2z=0n1?BB1=2z=0?]可取[n1=（3 ， -1 ， 0）]；

同理，[n2=（2 ， 0 ， 1）]是平面[AB1D]的法向量.

設二面角[B-AB1-D]的平面角為[θ]，則[cosθ=|cos|=|n1? n2||n1|?|n2|=155?θ=arccos155].

通過本文簡略的分析，我們可以發現在立體幾何證明題解答中，有很多的方法和途徑是可以采取的.輔助線的正確添加會使我們在解題的過程中事半功倍，迸發出新的思路.另外，合理地應用向量法，可以將傳統的幾何證明轉化成向量的坐標化計算，可以幫助我們求證答案.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張傳法. 巧用向量運算工具解立體幾何問題[J]. 數理化解題研究， 2002（8）.

[2] 趙利俠. 輔助線在幾何題中的重要性[J]. 數學教學與研究， 2016（53）.

[3] 張明賢. 輔助線的作用及其添加原則[J]. 新疆教育學院學報， 2009， 25（2）.

（責任編輯 黃桂堅）