數學建模思想驅動下的概率論與數理統計課程教學研究

陳濤

摘 要：文章分析了《概率論與數理統計》這門的課程的特點，討論了數學建模思想引入課堂的可行性，并引入兩個以數學建模思想為載體利用概率論與數理統計知識解決實際問題的案例。

關鍵詞：概率論與數理統計；數學建模思想；教學案例

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）18-0107-03

Abstract： This paper analyzes the characteristics of the course "Probability Theory and Mathematical Statistics"， and discusses the feasibility of introducing the idea of mathematical modeling into the classroom. And the introduction of mathematical modeling ideas as a carrier of the use of knowledge ofProbability Theory and Mathematical Statistics to solve practical problems of the case.

Keywords： Probability Theory and Mathematical Statistics； mathematical modeling thought； teaching cases

引言

《概率論與數理統計》是研究與揭示隨機現象規律的一門學科，其理論與方法已廣泛應用于工業、農業、軍事和科學技術中，如預測和濾波應用于空間技術和自動控制，時間序列分析應用于石油勘測和經濟管理，馬爾科夫過程與點過程統計分析應用于地震預測等。同時《概率論與數理統計》也是高等學校工科、經管類專業必修的三大數學基礎課之一，但因其內容具有一定的抽象性，并且需要《高等數學》作為基礎，所以學生在學習這門課的時候普遍覺得比較困難，晦澀難懂，沒有多大的學習動力，根本原因在于理論脫離了實踐，重理論輕應用。

為了增加學生學習《概率論與數理統計》這門課程的動力，很多學者至力于研究如何增加這門課的趣味性以及應用性。沙秀艷和辛杰[1]提出了“案例教學法”使學生透過案例，結合數學建模思想以及相應的軟件能夠主動的參與到課堂之中。赦秀芝等[2]提出了“實驗教學”方法，通過實驗環節，增強學生對知識的理解。方茹等[3]也提出了“案例教學法”，教師通過案例來學生積極的參與，增加與學生的互動性，從而加強學生對知識的理解。

本文旨在尋找有趣的、貼近生活的概率論與數理統計模型，融入數學建模的思想，使學生在分析問題、解決問題的過程中明白《概率論與數理統計》的原理及其重要性。

一、數學建模思想融入概率論與數理統計課堂的可行性

數學建模是從實際問題入手，在深入觀察、研究問題，作出簡化假設、分析內在規律的基礎上，用數學的符號和語言作表述來建立數數學模型?！陡怕收撆c數理統計》中的很多內容是利用高等數學的知識和隨機現象的規律建立起來的模型，如一維隨機變量的分布函數就是利用高等數學中的分段函數來描述的；二維連續型隨機變量的概率是概率密度在所求區域上的二重積分；極大似然估計利用樣本與總體之間的關系建立數學模型，并利用一、二元函數的極值方法，求取參數的點估計。因此在講授課程時可以利用內容的特點，引導學生明白知識體系的建構過程，即利用數學建模的思想將知識展現在學生面前。

二、數學建模思想融入概率論與數理統計的案例

為了使學生掌握《概率論與數理統計》的內容，降低知識高度抽象性，選取案例時應以有趣且貼近生活的案例為主。在解決問題時引入數學建模的思想，培養學生觀察問題、分析問題、利用數學知識解決問題的能力。

（一）貝葉斯公式的教學案例

周六你想和朋友相約赴黃山旅游， 天氣預報是多云，請你用概率的方法判斷周六的天氣狀況。

分析：本案例要確定周六的天氣狀況，雖然有天氣預報提供幫助，但天氣預報未必準確，因此就要求我們在天氣預報預測的基礎上對周六的天氣進行預測。

（二）隨機分布及假設檢驗教學案例

全國大學生數學建模2009（B）題：眼科病床的合理安排[4]

問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據當時住院病人及等待住院的統計情況，在病人門診時即告訴其大致入住時間區間。

分析：如果醫生在病人就診時就告訴病人入住時間且使得醫院的病床利用率最高，醫生需要知道眼科各類病人到達醫院服從什么樣的分布，以及眼科各類病人在醫院的逗留時間--病人從入院到出院的時間，服從什么分布。確定隨機變量的分布之后可以給病人一個置信度為95%的預約住院時間區間，且區間長度越短越好。

解：以單眼白內障門診數為例，表1為單眼白內障病人每天就診數。

由單眼白內障病人逗留醫院天數i概率密度可以計算出，i在相應區間Aj，j=0，1，2，3，4概率，建立X2擬合檢驗表，如下表4所示。

因X2的自由度為5-2=3，X20.005（3）=7.815，現在X2=71.4058-67=4.4058<7.815，故在顯著水平為0.05下接受原假設，即病人在醫院的逗留時間服從參數為？滋=5.23，？滓=1.43的正態分布。

所以可以預估病人入院等待的時間大約為6天。

三、結束語

《概率率論與數理統計》是一門應用非常廣泛的學科，在學習這門課時，需要學生有較好的數學基礎，若單純的從知識的角度去授課，必然使內容變得的非常抽象、學生學習沒有動力，引入恰當的案例和數學建模的思想使學生親身體會知識的建構過程，在解決問題的同時掌握知識，學以致用。

參考文獻：

[1]《概率論與數理統計》教學實踐與探索[J].大學數學，2013，29（4）：9-12.

[2]《概率論與數理統計》教學教學改革研究[J].大學數學，2009，11（3）：109-112.

[3]談案例教學法在概率論與數理統計教學中的應用[J].大學數學，2014，30（1）：59-62.

[4]中國大學數學建模網站[Online].Available：http：//mcm.edu.cn/.html.

[5]林樂義.建模思想融入概率論與數理統計教學的探究[J].高教學刊，2016（10）：94-95.

[6]余國勝，危合文，劉軍.概率論與數理統計教學方法的研究[J].高教學刊，2017（08）：59-60.

[7]黃麗容.普通高校概率論與數理統計教學之體會[J].高教學刊，2016（04）：95-96+98.