從2017年高考全國（I）卷第17題談解三角形的復習

蔡雙湖

摘要：本文以2017年高考全國（1）卷第17題為切入點簡要分析了解三角形的復習。希望能給我們的數學教學帶來些許啟示。

關鍵詞：數學教學；高考真題；解三角形的復習

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）01-0119

一、知識儲備

1. 正弦定理及其變式 = = ，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

2. 余弦定理及其變式

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC；

3. 內角和定理A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC；

4. 大角對大邊定理A>B a>b；

5. 三角形面積公式S△= absinC= bcsinA= acsinB；

6. 三角恒等變換

7. 特殊三角形（直角、等腰、等邊三角形）的性質。

二、高考真題分析

第17題.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，=3，求△ABC的周長。

1. 重視基礎，精通知識點

高考是考核學生的雙基是否扎實，是否理解數學思想方法的真諦。解三角形的重點：熟練掌握正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，結合內角和定理實現內角之間的轉換，化簡需要三角恒等變換，注意幾個定理的正用、逆用和變用。難點：分析已知條件， 確定邊角轉換，從而找到解題的入口。

思路1：（1）由面積S= bcsinA= 得

sinBsinCsinA= 即sinBsinC=

思路2：（1）由面積S= bcsinA= 得bc=

∴sinBsinC= · = =

2. 重視公式的推導

公式的推導過程含有豐富的數學思想方法，能體會出一些數學文化，在復習中可以引導學生再現這些公式的探索發現過程，不斷在數學思想方法指導下，找出公式與公式之間的聯系，讓學生經過再創造性思維活動，從而使學生建立知識的網絡圖。

思路3：（1）由于a邊上的高h=bsinC=csinB

∴S= ah= bcsinC=

∴bsinC= =

∴sinBsinC=

思路4：∵ = ∴ =

∴S= acsinB=

∴sinBsinC=

3. 重視回歸課本，分析題源

高考的命題源于課本，高于課本，回歸課本的目的就是要尋出題目的“源”。課本教材和考試大綱可以說是限制高考的“法”。課本才是總題庫，每一道高考題都可以從課本中找到源頭。從這幾年來的高考試題，越來越呈現出回歸教材的趨勢。在各年高考試題中不少讓學生感到生疏的題目，都是在課本上原題的基礎上變身。對能力的考查離不開課本知識。高考無論考查什么題，其知識點都是在課本內，如果“吃透教材”，遇到高考題，只須對課本知識點進行思維再加工就可以應對自如了。

課本人教版必修5中第20頁B組第一題：

求證S△ABC= · （證略）

思路5：由S= · =

∴sinBsinC=

4. 注重知識的交匯

從2012年到2017年的高考解答題第17題主要是以數列或解三角形問題為主，考查有關正余弦定理和三角函數等有關知識。主要有下列重要題型：正余弦定理與三角恒等變換結合；正余弦定理與方程思想結合（需設未知數建立等式）；正余弦定理與函數思想結合（需建立函數關系式）。

第（2）題分析提高：根據所給等式的結構特點利用三角恒等變化進行變形，迅速解出角A是本題的關鍵；熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的應用。

第（2）題由題設及（1）得cosBcosC-sinBsinC=- ，即cos（B+C）=- .

所以B+C= ，故A= .由題設得 bcsinA= ，即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9，即（b+c）-3bc=9，得b+c= .

所以周長為3+ 。

5. 注重培養學生的運算能力

在全國卷中，要求學生要有較高的運算能力，即要求準確、合理、簡捷、快速完成解答。在復習過程要讓學生掌握運算的通法，靈活運用概念、性質、公式和法則進行運算。教師可以結合教材內容，編制和收集一些靈活性較大的練習題，培養學生運算的靈活性，并引導學生收集、歸納、積累經驗，形成熟練技巧，以提高運算的簡便性和快速性。

對第（2）題而言，學生還會出現這樣的解法：

處理1：得cosBcosC-sinBsinC=- 即cos（B+C）=- .所以B+C= ，故A= .由題設得 bcsinA= ，即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9。

由bc=8b2+c2=17解方程組b= c= 所以a+b+c=3

處理2：由sinBsinC= ，cosBcosC= 聯立sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1

sin2C= cos2C= ；sin2B= cos2B=

= = ，再結合bc=8可解b，c下略.

處理3：由cosBcosC= · =

得81-（c2-b2）2=6bc又bc=8可解b，c。

以上三種處理方法思路雖也自然，但運算量大，稍有不慎就會解不出正確的結果。

三、小結提高

熟悉各知識點是解決三角形問題的根本，而能適當選擇公式并快速運算是得分的關鍵。走進高考題，通過解題、分析、歸納，你就能站得更高，看得更遠。讓學生再現高考真題，可以讓學生體會高考的考察難度，積累解題經驗，促進知識間的融匯貫通，從而做到知己知彼，決勝高考。

（作者單位：福建省泉州安溪八中 362000）