研究解法拓展應用

摘要：通過對將軍飲馬模型解法的探究和拓展應用，在建立模型、完善模型、打破模型、再建新模型的過程中，讓學生積累基本的數學解題經驗，提高學生的數學解題能力，提升學生的應用能力、創新意識和探索精神。

關鍵詞：探究解法；拓展應用；創新意識

近幾年中考和高中自主招生數學試卷中，經常出現動點在某圖形上運動，求線段和的最小值問題。動點在直線上，兩定點在直線同旁的兩線段和的最小值問題，是我們熟悉的模型，也是初中幾何中求線段和的最小值常見數學模型即將軍飲馬模型。

當動點軌跡由直線變為拋物線或雙曲線時，如何求兩線段和的最小值呢？能否從將軍飲馬模型解決方法中得到啟發，能使問題得到解決呢？下面舉例說明將軍飲馬模型解法的探究過程和其解法的拓展應用。

探究解法

一、 動點軌跡為直線（將軍飲馬模型）

例1如圖，在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（5，2），在x軸上求一點P，使PA+PB的值最小，并求最小值。

評注：方法一是對稱轉化，通過作一個定點關于x軸的對稱定點，轉化為兩定點之間的最短距離問題，利用兩點之間距離最短將問題解決，本題也可以作點B關于x軸的對稱點。

方法二是恒等變形轉化，將線段長用兩點間的距離公式表示，利用代數恒等變形（相當于配方）得到新的兩點間距離，根據數形結合思想可知，其實質是作點A關于x軸的對稱點C，從而把直線同側兩線段之和轉化為直線異側兩線段之和，再利用兩點之間線段最短來解決。本題也可將（x-5）2+（0-2）2變形為（x-5）2+[0-（-2）]2。

拓展應用

二、 動點軌跡為拋物線

分析：要求△KFN周長的最小值，FN的長為定值，需要求KN+KF的最小值。對比將軍飲馬模型，定點F，N都在拋物線一側，不同的是動點軌跡是拋物線，能否像將軍飲馬模型一樣作對稱點呢？

顯然不能，能否像方法二那樣，利用恒等變形轉化，在拋物線的另一側找一點M，使得KM=KF或KM=KN呢？如果可以，當N、K、M或F、K、M共線時，KN+KM或KF+KM最小，KN+KF的最小值問題就解決了。

評注：這里的點F和直線y=114很特殊，高中學完圓錐曲線之后，就知道這個點是拋物線的焦點，在拋物線的對稱軸上，這條直線是拋物線的準線，拋物線上任意一點到焦點的距離與這點到準線的距離相等。這里兩定點中有一個焦點，如果已知的兩個定點中沒有一個是焦點，問題就不能這樣轉化了。

本題的恒等變形就是配方，配成關于x-1的代數式，這里1是拋物線焦點的橫坐標，最后變形為x2-2x+4-114，利用數形結合的思想從而將線段KF轉化為拋物線異側垂線段KM，然后利用垂線段最短解決本題。

三、 動點軌跡為雙曲線

例3（黃石市中考題改編）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），B（0，2），N（0，32），P為反比例函數y=-1x（x<0）的圖像上一動點，PM∥x軸交直線AB于M，求PM+PN的最小值。

評注：高中學完圓錐曲線后知道，這里點K是雙曲線的焦點，在雙曲線的對稱軸上，直線AB是雙曲線的準線。過P作PH⊥AB，垂足為H，PKPH=2叫作雙曲線的離心率，本題PM=2PH因此PM=PK。

幾點啟示

1. 本文通過探究將軍飲馬問題的解決方法，并將方法應用于動點軌跡為拋物線和雙曲線，蘊含了豐富的數與形相互轉化的數學思想。可以看出即使比較復雜的問題，所用的知識也是簡單而基礎的問題，因此教學中教給學生解題方法時，要與學生探究所給問題與基本問題的聯系，使學生能夠說出為什么這么想，用到哪些知識等，提高學生解題能力。

2. 構建解題模型，并在不同的情景中應用模型解題，有利于學生把握問題的本質，舉一反三，培養學生思維的靈活性和批判性，也培養學生的發散思維和創新能力，有效減輕學生的學習負擔，提升學生的數學素養。

作者簡介：

李繼丹，湖北省仙桃市，西流河鎮初級中學。