從幾何研究的基本方法出發

摘 要： 從生活情境出發引出“點和圓的位置關系”，能夠增加開課階段的一些趣味，體現數學源自生活。然而，從幾何研究的基本方法或套路出發，基于圖形位置關系與數量關系的對應，精心設計系列作圖問題，驅動“點和圓的位置關系”的新知生成，能夠關注數學內部的發展，使得教學更有“幾何味”。

關鍵詞：尺規作圖 問題驅動 點和圓的位置關系 教學設計

對于“點和圓的位置關系”，不少版本的初中數學教材都是從一個生活情境（比如射擊問題）出發，引出相應的性質與判定。這樣可以增加開課階段的一些趣味，體現數學源自生活。然而，我們也可以從幾何研究的基本方法或套路出發，基于圖形位置關系與數量關系的對應，精心設計系列作圖問題，驅動新知生成，串聯課堂教學。這樣可以關注數學內部的發展，使得教學更有“幾何味”。下面就給出這樣的教學流程，以供研討。

一、教學流程與思考

（一）“一點”出發，畫圖分析，引出課題

教師在“副板區”（黑板的右半部分）先畫出點A，并指出“經過一點的直線有無數條”；再畫出點B，連出直線AB，并指出“經過兩點的直線有且僅有一條”；接著畫出直線AB外一點C（如圖1），并指出“在七年級我們還研究過點與直線的位置關系”。然后，教師在“主板區”（黑板的左半部分）書寫留白式課題“……位置關系”。

（二）作圓活動，得到“點與圓的位置關系”

教師出示作圖活動1：

作圖1 過點A作圓，能作多少個圓？這些圓的分布有什么特點？

預設：學生畫圖發現，這樣的圓有無數個，在分布上沒有什么特點。教師在黑板上保留經點A的一個圓，引導學生觀察平面被該圓分成的三個部分，基于圓的定義，從集合的角度來描述點在圓外、圓上、圓內（如圖2）。然后，教師板書完善課題“點和圓的位置關系”，并生成新知“‘數形對應理解點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離OP=d，則有點P在圓外d>r；點P在圓上d=r；點P在圓內d

教師出示例1：

例1

已知矩形ABCD的四個頂點在同一圓O上，若AB=4 cm，AD=3 cm，邊AB所在直線上有一點E。

（1）當OE=2 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（2）當OE=2.5 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（3）當OE=3 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（4）設平面內有一點P，點P到圓心O的距離大于等于1.5 cm且小于等于2.5 cm時，畫出點P所在的區域。

預設：本題主要用于鞏固新知（點和圓的位置對應的數量關系），選擇矩形作為問題背景還有一個考慮：矩形的四個頂點恰在以對角線交點為圓心（對角線長為直徑）的圓上。學生不難發現，前三問分別對應著點在圓內、圓上、圓外，而最后一問則是兩個同心圓形成的圓環區域。

（三）作圓活動，研究“三點共圓”問題

教師出示作圖活動2：

作圖2 作一個圓，使該圓能同時經過點A、B。

預設：學生先分組作圖、交流，再全班展示、匯報，發現這樣的圓也有無數個（如圖3）。教師進一步要求學生說出這些圓的特點，即圓心分布的特點（在線段AB的垂直平分線上）。

教師出示作圖活動3：

作圖3 能否作出一個圓同時經過已知的三個點？

預設：部分學生受到前面的啟發，畫出兩條垂直平分線的交點，作為圓心，從而確定圓（如圖4）。教師給予肯定，并定義三角形的外接圓與外心等概念。然后，教師啟發學生繼續思考：經過平面內三個點一定能確定一個圓嗎？若學生沒有考慮到三個點在同一直線上的情形，教師可引導學生思考之。學生能直觀地看出，不可能作出同時經過同一直線上三個點的圓。這時，教師可讓學生繼續探究如何說理，從而引出反證法的介紹（結合圖5講解；“反證法”在課標中只作為“了解”內容，這里可以一帶而過）。

教師出示例2：

例2 已知邊長為23的等邊三角形ABC。

（1）尺規作圖作出△ABC的外接圓⊙O，并求出它的半徑；

（2）若點P到△ABC的外接圓的圓心O的距離大于等于1且小于等于2，分析點P所在的區域。

預設：第（1）問訓練等邊三角形的外接圓的尺規作圖，跟進求出半徑為2；第（2）問主要鞏固點到直線的位置關系，從“數”的角度分析“形”的關系。學生會畫出半徑分別為1、2的同心圓O（如圖6），其中小圓O恰為△ABC的內切圓（后面會學到）。

（四）梳理所學，形成結構化的板書

教師引導學生梳理本課所學的內容，完善并形成結構化的板書（包括課題、新知以及圖1～圖5等內容），幫助學生理解本課所學內容與后續待學內容之間的關系。

教師出示跟進練習：

練習

在平面直角坐標系xOy中，⊙M經過點A（2，0）、B（2，2）、C（0，2）。

（1）尺規作圖作出⊙M，并寫出圓心M的坐標；

（2）試判斷點D（3，1）與⊙M的位置關系，并說明理由；

（3）若點P（x，y），且x+y=2，試分析當x取何值時，點P在⊙M外、上、內？

意圖：前兩問主要訓練本課教學重點，第（3）問適度拓展與關聯一次函數圖像（直線）與圓的交點（恰在坐標軸上），并且為后續研究的直線和圓的位置關系提供知識生長點。

二、教學立意的進一步闡釋

（一）基于作圓活動，驅動課堂進程

如何構思一個好的問題情境或者高度相關的數學活動驅動整節課的教學進程，是不少教師教學設計時反復思考的。教材中，“點和圓的位置關系”“三點共圓”“反證法”等新知比較零散地出現，關聯度不強。于是，筆者構思了系列作圖活動。開課時，依次畫出一個點、兩個點（確定一條直線）、三個點（點在直線外），這三個圖形既復習了幾何研究的最初對象（從點到線），也復習了幾何的研究角度（圖形的形狀與位置），更重要的是，為后續的系列作圖活動提供了三個“生成性教學情境”（由之前的教學活動保留下來的背景，可以作為后續教學環節中一些新知探究的生長點）。具體來說，一個點的圖形為后面“經過一點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學情境”；兩個點的圖形為后面“經過兩點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學情境”；三個點的圖形為后面“三點共圓”的作圖探究以及三角形外接圓、反證法等新知的探究提供了“生成性教學情境”。

（二）圓的定義出發，歸納生成新知

通過對教材內容的分析，本課新知探究的生長點是“圓的定義”。圓的定義中有兩個關鍵元素：圓心、半徑。圓心半徑確定圓的位置，圓的半徑確定圓的大小。從圓的定義出發，可以把平面內的點分成三類：點在圓外、點在圓上、點在圓內。從圓的定義出發，分別經過一點、兩點、三點（不在同一直線上）作圓，并追問圓是如何作出來，畫出的圓是否唯一確定（圓心能否被確定，半徑能否被確定等）。在不同教學環節中，通過互動與對話，反復引導學生回到圓的定義來說理，也是一種數學研究或解題方法的滲透：回到概念去理解或思考。

（三）精心設計例題，突出內容效度

數學課堂教學離不開例題與習題，怎樣選編一些好的例題與習題也是需要我們在備課時認真思考的。本課中，一共安排了3道例題或習題。例1主要訓練點與圓的位置關系的性質與判定（數形對應），選用矩形作為問題背景是因為之前《圓的定義》一課中，學生已經證明過命題“矩形的四個頂點在同一個圓上”。例2關注的是等邊三角形的外接圓作法，并且遞進形成同心圓問題，訓練學生聚焦等邊三角形的外接圓與內切圓，以及基本圖形中邊角之間的關系。最后一道習題將正方形放置在平面直角坐標系中，其中的最后一問適度關聯直線與圓的交點問題，但是本質上還是運用點和圓的位置關系的性質與判定進行解答。

參考文獻：

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