數(shù)學(xué)文化在《定積分的概念》教學(xué)中的滲透

蘇麗仙

摘 要：定積分的概念來(lái)源于求平面圖形的面積及其他一些實(shí)際問(wèn)題；定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家工作中，就已經(jīng)有了發(fā)現(xiàn)。為了該數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的滲透我特地上了一節(jié)《定積分的概念》的公開課，以下是教學(xué)實(shí)錄及其教后反思。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化 定積分 滲透

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）09-0-01

一、引出課題

師：上一節(jié)課我們給出了如何求一個(gè)曲邊梯形和曲邊三角形的面積的方法，那么這個(gè)方法具體有哪些步驟呢？

生： 有“四步曲”：分割----近似代替----求和----取極限。

師：用此方法我們還可以解決物理中的哪些問(wèn)題？

生：計(jì)算變力所做的功；汽車走過(guò)的路；水庫(kù)渾洪時(shí)閘板所受的壓力等。

師：好，此方法用途之廣，但求解過(guò)程如此繁冗。那我們可不可以用一個(gè)更為簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示它？

生（異口同聲）：定積分。

師：很好，那我們?nèi)绾谓o“定積分”下定義呢？

二、給出定義

師（生念師板書并課件展示）：一個(gè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上曲邊梯形的面積，叫作函數(shù)f（x）在區(qū)間[a， b]上的定積分，記作

定積分有關(guān)名稱：

ò ———叫做積分號(hào)； a ————叫做積分下限；

f（x） ——叫做被積函數(shù)； b ————叫做積分上限；

f（x）dx —叫做被積表達(dá)式； [a， b] —叫做積分區(qū)間。

x ———叫做積分變量；

注： （1）積分號(hào)是拉長(zhǎng)了的英文字母S，表示積分的計(jì)算是求和的推廣，此記號(hào)是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨引進(jìn)的。

（2）定積分的符號(hào)具有一定的抽象性，它既是一個(gè)和式的極限也是一個(gè)確定的常數(shù)。

（3）式中x的可換成任意字母，意義不變。

三、解析定義

師：我們只有通過(guò)深入的研討琢磨，才能對(duì)定義的本質(zhì)與內(nèi)涵進(jìn)一步理解和掌握。定積分到底是什么？同學(xué)們能否簡(jiǎn)單表述一下？

生：曲邊梯形的面積是定積分。

師：很好，那定積分在幾何上可以怎樣表示呢？

生（與同桌開始討論）：定積分是曲邊梯形的區(qū)域位于直角坐標(biāo)系中不同象限而取值符號(hào)不同。

師：對(duì)了，那具體有哪些不同呢？（教師課件展示，學(xué)生滔滔不絕回答）

生：

生：

生：當(dāng)f（x）在區(qū)間[a， b]上既有正又有負(fù)時(shí)，積分就是x軸上方的面積加上x軸下方的負(fù)的面積。

教師適當(dāng)放慢速度讓學(xué)生領(lǐng)悟以上兩個(gè)定積分與面積的符號(hào)關(guān)系，尋找被積函數(shù)f（x）在直角坐標(biāo)系中圖象的位置。當(dāng)學(xué)生感到困難時(shí)，教師要及時(shí)地點(diǎn)撥。

師：大家發(fā)現(xiàn)到了定積分與面積的符號(hào)關(guān)系？

生（小心翼翼）：曲邊梯形的區(qū)域若在x軸上方的定積分與面積的符號(hào)相同，若在x軸下方的定積分與面積符號(hào)相反。

師：非常好！那被積函數(shù)f（x）與其在直角坐標(biāo)系中圖象的位置又有什么關(guān)系呢？

生（恍然大悟）：被積函數(shù)f（x）由圖可以寫成f（x）-0即上函數(shù)解析式減去下函數(shù)解析式。

學(xué)生高興地像哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸！

生（興奮回答）：

師（激動(dòng)小結(jié)）：以上我們所研究的內(nèi)容就是定積分的幾何意義。在研究過(guò)程中運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，同學(xué)們要牢記這些幾何意義，在接下來(lái)的例題中發(fā)揮重大作用。那么大家再想想，若把曲邊梯形換成曲邊三角形甚至任意圖形上面的結(jié)論也成立嗎？

生（猶豫一下）：應(yīng)當(dāng)也成立。

師：對(duì)！（并板書說(shuō)明）

四、應(yīng)用定義

師（課件展示）：下面給出幾道練習(xí)，來(lái)檢驗(yàn)大家對(duì)今天所學(xué)內(nèi)容是否領(lǐng)悟、理解和掌握。

例：如圖四個(gè)陰影部分，請(qǐng)用定積分分別表示它們的面積。

f（x）=（x-1）2-1

生（自信分析）：圖①的陰影部分區(qū)域位于x軸上方，且上函數(shù)解析式減去下函數(shù)解析式為x2-0即x2，所以陰影部分面積

生（自信分析）：圖②的陰影部分區(qū)域可以分成y軸左側(cè)和右側(cè)兩個(gè)部分，分別求出再相加即可。

以上是方法一。

生（激動(dòng)）： 圖②的陰影部分區(qū)域位于第一和第二象限內(nèi)，且x[-1，2] 在上面的函數(shù)圖像和下面的函數(shù)圖像相對(duì)固定， 所以陰影部分面積

以上是方法二。

生（激動(dòng)）：我明白了，那圖③陰影部分面積

師：根據(jù)剛才大家所分析可得解決圖②③的方法可以有兩個(gè)，顯然第二種方法簡(jiǎn)便，在解題時(shí)具體用哪種方法更合適還要由圖像決定的。

當(dāng)同學(xué)們做到圖④時(shí)，全班都沸騰了，各抒己見(jiàn)……

生： 圖④的陰影部分區(qū)域位于x軸上方和下方，且位于x軸上方不都是函數(shù)f（x）=（x-1）2-1，而位于x軸上方不都是函數(shù)y=0。

生：對(duì)喔，那我們就不能用圖②③的簡(jiǎn)便方法來(lái)做了。

生： 圖④的陰影部分面積可以分成兩個(gè)部分來(lái)求： 一個(gè)位于x軸上方另一個(gè)位于x軸下方，先把兩個(gè)部分的面積分別求出來(lái)再相加即為所求， 所以陰影部分面積

師：看來(lái)本節(jié)課大家對(duì)知識(shí)的掌握還是比較全面的，個(gè)個(gè)分析地很到位。

五、課堂小結(jié)

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是定積分的概念，圍繞它我們做了深入的探究，現(xiàn)在我們來(lái)回顧一下。

生：由函數(shù)y=f（x），y=g（x）（f（x）≥g（x））及x=a，x=b所圍成的面積可以用定積分來(lái)表示。

師：如何表示？我們應(yīng)當(dāng)注意什么？

生（異口同聲）：圍成的區(qū)域若在x軸上方的定積分與面積的符號(hào)相同；若在x軸下方的定積分與面積符號(hào)相反；若既有在x軸上方又有在x軸下方的定積分就是x軸上方的面積加上x軸下方的負(fù)的面積。

師：我們?cè)谔骄康倪^(guò)程中主要用到什么的數(shù)學(xué)思想方法？

生：數(shù)形結(jié)合。

生（興奮）：我們還學(xué)到了求不規(guī)則圖形面積的方法，不得不佩服前人的聰明才干，讓我們體會(huì)到了積分的威力！

師：很好，同學(xué)們經(jīng)過(guò)認(rèn)真細(xì)致的分析和探究，對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容領(lǐng)悟、理解和掌握。

六、教后反思

積分學(xué)的創(chuàng)立，被稱為“人類精神的最高勝利”，是數(shù)學(xué)史上更是人類歷史上的一件大事，若沒(méi)有積分學(xué)，我們科學(xué)研究和工程技術(shù)中的很多問(wèn)題就無(wú)法得到解決。

本節(jié)課用“曲邊梯形的面積”來(lái)定義“定積分”概念，既直觀又方便，不過(guò)它依賴于幾何，也依賴于面積概念，所以在應(yīng)用定積分來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要掌握定積分與面積取值的符號(hào)，在教學(xué)過(guò)程中老師要特別強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：

（1）

（2）圍成的區(qū)域在x軸下方的面積等于對(duì)應(yīng)的定積分的相反數(shù)，這一點(diǎn)對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)很容易錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)

[1]吳小艷. 高職數(shù)學(xué)微積分教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的理論與實(shí)踐研究[D].蘇州大學(xué)，2010.

[2]陸斌.對(duì)高等數(shù)學(xué)教育改革的探討[J].科技信息（學(xué)術(shù)研究），2006（12）：92-93.