應用畫圖策略 促進幾何直觀

孔雪峰

[摘 要]“幾何直觀”與畫圖策略有著密切的聯(lián)系。應用“幾何直觀”有助于降低問題的難度，促進學生的數(shù)學能力高速發(fā)展。應用“幾何直觀”的一個策略就是畫圖，通過畫圖，讓問題變得直觀、簡單，從而輕松解決問題。

[關鍵詞]畫圖策略；幾何直觀；再認識；實踐

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0050-02

“幾何直觀”是課程標準的一個關鍵詞，它不同于畫圖策略卻又與畫圖策略有著密切的聯(lián)系。如何應用畫圖策略，促進學生的幾何直觀能力發(fā)展呢？下面，筆者結合自己的教學實踐談談幾點思考。

一、一場爭議引發(fā)的思考

在學校組織學習課程標準的一次沙龍活動中，有教師提出：“《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出的幾何直觀就是我們教學的畫圖策略，幾何直觀只是一個新名詞。”許多教師紛紛附和，也有教師提出了自己的不同看法：“幾何直觀不僅包括畫圖，還包括演示和操作。”筆者不禁思考，無論是畫圖策略還是幾何直觀，都跟圖有著千絲萬縷的關系，可畫圖策略和幾何直觀真的是一回事嗎？

二、對畫圖策略和幾何直觀的再認識

1.從內(nèi)在實質(zhì)來看

畫圖策略是一種策略方法，是指解題者在解題過程中運用畫圖的方式，畫出與題意相關的示意圖，并通過圖形進行觀察、推理和思考的方法，是解決數(shù)學問題的一種重要手段。

幾何直觀是一種能力與思維模式。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”

2.從涉及對象來看

畫圖策略中的“圖”在小學階段主要包括示意圖、線段圖、韋恩圖以及面積圖，而幾何直觀中的“圖”是一種表征符號，可以是看得到的幾何直觀演示，也可以是畫出來的各種圖像，還可以是建立在大腦中的直觀表象。因此，幾何直觀中的“圖”比畫圖策略中的“圖”廣，它包括畫圖策略中的“圖”。

3.從應用范圍來看

畫圖策略主要是借助圖形描述和解決一些實際問題，而幾何直觀借助圖形描述的問題范圍更寬泛，包括算術、代數(shù)、幾何、統(tǒng)計等各個方面的問題，全面涵蓋了小學數(shù)學的四大領域。因此，幾何直觀的應用范圍比畫圖策略要大。

4.從目標指向來看

無論是畫圖策略還是幾何直觀，都是利用圖形來分析和解決問題”，但畫圖策略的最終目標直接指向解決問題本身，而幾何直觀則更側重于獲取有效信息以及解決問題的思路與途徑，目標指向數(shù)學思維能力的形成。

從以上四個方面可以看出，畫圖策略與幾何直觀有區(qū)別也有聯(lián)系。畫圖策略是符合小學生心智的，圖像表征能有效促進理解概念、探索規(guī)律、解決問題，從而培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

三、應用畫圖策略促進幾何直觀的實踐

1.經(jīng)歷“圖”的抽象過程，發(fā)展學生的直觀感知

在低年級學生剛剛接觸畫圖策略時，教師應該引導學生經(jīng)歷“真實情境—再現(xiàn)情境—結構圖示（關系圖示）—圖形表象”的過程。如，教學蘇教版第三冊“比一個數(shù)多或少幾的實際問題”時，教師可以設計以下四個環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)，真實情境。讓學生借助實物，動手擺花片，并在擺的過程中思考如何才能更容易看出“多”和“少”，初步體驗“對齊”。

第二環(huán)節(jié)，再現(xiàn)情境。將實物的花片變成圖形，將花片的數(shù)量變成圖形的數(shù)量。這一環(huán)節(jié)的圖形已經(jīng)有著符號化的意義，它仍然保留著“花片”的影子——幾個花片對應著相應圖形的個數(shù)。這一環(huán)節(jié)發(fā)揮了替代物的作用，也突顯了對應思想。

第三環(huán)節(jié)，結構圖示。脫離“花片”這一具體形式，以圖形的數(shù)量代替花片的數(shù)量。這一環(huán)節(jié)的圖示更加突出的是結構——第一行圖形可以分成與第二行圖形數(shù)量一樣多的一部分以及多出來的另一部分。正因為本環(huán)節(jié)脫離了具體的情境，是抽象層面的圖示，因此本環(huán)節(jié)的圖示具有普適性。

第四環(huán)節(jié)，圖形表象。要求學生看圖并用手比畫哪一部分是一樣多的、哪一部分是多出來的，問題求的是哪一部分，通過比畫建立比多比少的結構化表象。

讓學生在一系列活動中獲得過程性的體驗和一些感性的認識，這些都有利于發(fā)展學生的直觀感知。

2.掌握“圖”的多種表征，發(fā)展學生的直觀理解

教師要根據(jù)學生年齡特點和已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，有計劃、有步驟地引導學生利用合適的“圖”來表征數(shù)學問題，幫助學生獲得清晰直觀的表象，理解數(shù)量之間的關系，逐步建構實際問題的視覺表征系統(tǒng)，培養(yǎng)準確感知現(xiàn)實世界的能力。

（1）示意圖。示意圖是大體描述物體的形狀、相對大小、物體之間的關系的圖示，它的優(yōu)點是簡單明了、重點突出，缺點是忽略了很多細節(jié)。例如，教學蘇教版第一冊第106頁的思考題“從前往后數(shù)，第5只是小鹿，從后往前數(shù)，第8只是小鹿，一共有多少只動物？”時，我讓學生自己動手畫一畫，要求通過畫出的圖形能很快地數(shù)出一共有多少只動物。學生畫出的示意圖如下圖所示（黑色的圓代表小鹿）。

（2）線段圖。線段圖是將幾條線段組合在一起，用來表示問題中的數(shù)量關系，幫助學生分析題意、解答問題的一種平面圖形，它能夠把抽象問題具體化，是一種半抽象的圖形。例如，教學蘇教版第十一冊第84頁例3“林陽小學去年有24個班級，今年的班級數(shù)比去年增加了[14]，今年一共有多少個班級？”時，我引導學生畫線段圖分析：先找到單位“1”——去年的班級數(shù)，然后根據(jù)今年的班級數(shù)比去年增加了[14]，畫出表示今年班級數(shù)的線段。學生畫出的線段圖如下圖所示。

這是一個稍復雜的實際問題，學生通過畫線段圖直觀理解了去年的班級數(shù)與今年的班級數(shù)之間的關系，從而順利地解決了問題。

（3）樹形圖。樹形圖是以父子層次結構來組織對象的一種表達方式。在教學“搭配”時，使用樹形圖會更加直觀。例如，教學蘇教版第八冊第51頁“想想、做做”第二題“3件上衣，2條褲子，3條裙子，一共有多少種不同的穿法？”時，學生畫圖出樹形圖（如下圖），問題很快就迎刃而解。

（4）韋恩圖。韋恩圖是用封閉曲線（內(nèi)部區(qū)域）表示集合及其關系的圖形。例如，三年級一班有20人訂閱《小學生數(shù)學報》，有15人訂閱《小學生作文》，全班共有30人訂閱雜志，兩種雜志都訂閱的有多少人？用韋恩圖（如下圖）來表示，學生就能直觀理解重疊部分表示的是兩種雜志都訂閱的學生。

（5）長方形圖。長方形圖也叫矩形圖或面積圖，它是一種遷移、應用很廣的圖示方法。例如，原計劃買15個籃球，每個50元，實際每個漲價5元，而且多買了5個，實際比原計劃多花了多少錢？將這樣的問題用長方形圖（如下圖）來描述題意，學生驚奇地發(fā)現(xiàn)題目變簡單了。

3.探索“圖”內(nèi)在的奧秘，發(fā)展學生的直觀洞察

對于畫圖策略，不僅要求學生能根據(jù)題意用恰當?shù)膱D形去形象表征數(shù)學問題，還要充分發(fā)揮直觀推理在問題解決過程中的作用，鼓勵學生借助直觀進行想象和猜測，進而洞察數(shù)學對象的結構與關系。

（1）探索“圖”的變化規(guī)律

例如，“周長都是16厘米的長方形，長和寬各取多少時，面積最大？”學生利用方格紙畫圖（如下圖），首先認識到周長為16厘米的長方形有很多個，然后通過把這些圖有序排一排，漸漸能悟到：當長和寬差距變小時，長方形的面積就會變大；當長和寬差距變大時，長方形的面積就會變小；當長和寬相等時，長方形的面積最大。這樣的發(fā)現(xiàn)是學生通過畫圖和看圖獲得的一種直觀認知，含有一定程度的猜測。這樣的經(jīng)歷將有利于培養(yǎng)學生更高層次的幾何直觀能力——直觀洞察，有利于發(fā)現(xiàn)直觀載體的深層意義與內(nèi)在的本質(zhì)。

（2）探索“圖”的隱藏信息

例如，蘇教版教材第八冊“解決問題的策略”中有一道題：“小營村原來有一個寬20米的長方形魚池，后來因擴建公路，魚池的寬減少了5米，這樣魚池的面積就減少了 150平方米。現(xiàn)在魚池的面積是多少平方米？”

多數(shù)學生畫圖（如下圖）后這樣計算：150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）。只有極少數(shù)的學生根據(jù)畫出的圖直接列式計算：150×3=450（平方米）。很多學生都不理解后面這種解法，經(jīng)過其他學生的講解，他們才恍然大悟。

是畫圖給了學生直觀的刺激，讓學生直觀地看到現(xiàn)在的面積與減少面積之間的關系，進而跳過常規(guī)的面積計算方式，直接解決問題。這一過程未經(jīng)充分邏輯推理，卻能洞察事物的“骨象”，直接把握對象的全貌和本質(zhì)，使學生的幾何直觀能力向前邁進了一大步。

（責編 吳美玲）