聯合數學思想方法，積累問題解決的經驗

黃秀文

【摘要】《義務教育數學新課程標準》（2011版）在總目標里明確提出要增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。要將這一目標落實到課堂中，就要求教師要探索可操作的教學策略提高學生的四能。而數學基本思想方法的使用對問題解決可以收到化難為易的效果，對于學生四能的培養也發揮著重大作用。筆者就如何應用轉化思想、數形結合、類比思想、模型思想等四種數學思想方法，幫助學生分析、解決問題，積累問題解決的經驗進行闡述。

【關鍵詞】數學思想方法 問題解決 積累經驗

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）31-0127-02

一、用數形結合，直觀信息

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。問題解決的題目多數以抽象的、枯燥的文字和數據呈現，不便于學生思維從具體發展到抽象，不利于分析問題。借助數形結合，便可以將抽象信息直觀化。

[案例]新人教版五上的p74《實際問題與方程例2》

本題如果用算術方法解題，需要逆向思考，思維難度較大，易出現錯誤。提倡列方程解答，找出數量關系便是解題的關鍵。分析數量關系，僅依靠題中文字“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”，少數學習品質高的學生易明白其中的數量關系，但學習品質中下的學生面對抽象的文字，要找出等量關系式有難度。此時，便可以將數與形結合起來理解，如圖：

這樣的線段圖，將黑色皮與白色皮之間的數量關系直觀化，這對于后進生理解題意有很大幫助。數形結合的應用，也不是一朝一夕就可以形成。需要執教教師從低年級起培養，從簡單具體的實物圖，示意圖逐步發展到簡潔抽象的線段圖；從執教教師示范畫圖到學生模仿畫圖，到最后學生根據信息獨立畫圖，逐漸培養應用數形結合的方法來呈現信息，逐步積累自主畫圖分析問題、解決問題的經驗。

二、用轉化思想，簡化問題

轉化思想， 它是指將不熟悉的、未知的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為熟悉的、已知的、簡單的問題，從而使問題順利解決的數學思想。隨著年級的增長，數學問題越來越有探究性，同時隨著數學知識的螺旋式的發展，前后知識聯系密切，并有一系列問題是同種類型的問題，解題方法可以遷移，可以轉化。學生可以原有的問題解決的經驗上發展新經驗。

[案例1]新人教版四下的p68《四邊形的內角和》

本課是在《三角形的內角和》后繼續探究《四邊形的內角和》，學生根據前一節課問題解題經驗，容易想用測量和剪拼的方法解決問題。如何在已有經驗的基礎上發展新經驗，需要執教者引導學生觀察發現新舊問題之間的關系，能不能把未知的問題轉化為已知的問題，即將求四邊形的內角和轉化為求三角形的內角和，借助已有的結論解決問題，積累轉化問題、解決問題的新經驗。

[案例2]新人教版五上的p87《四邊形的內角和》

在本課之前，學生已有計算長方形和正方形面積的基礎，學生也易想到用格子測量。為了更準確的數格子，通過移和拼將不滿一格的拼在一起數。再進一步的追問：不數方格，能不能計算平行四邊形的面積呢？引發學生觀察思考平行四邊形與長方形之間的聯系，找到轉化的契機，通過剪拼將平行四邊形轉化成長方形，將不熟悉的問題轉為熟悉的問題，將未知的問題轉化為已知的問題。

可見，轉化思想在問題解決中一種好方法，也是一種可借鑒的經驗。但是轉化的時機，轉化的結果都是根據學生的學習情況，在平時就要多引導學生觀察對比一類事物之間的區別與聯系，在解決問題時尋找合適的時機，順水推舟，將未知的轉化為已知的，問題也就迎刃而解。

三、用類比思想，遷移方法

類比，就是根據兩類事物在某種屬性上相似或相同，而推出它們在其他屬性上也可能相似或相同的推理方法。[1]在問題解決過程應用類比思想方法，特別是類比問題解決方法可以幫助學生理解，化難為易，提高課堂效率。

[案例]新人教版六上的p3《分數乘法》

本課是通過復習和喚醒學生整數乘法的數量關系，在引出分數乘法。引導學生通過類比前后問題的聯系，都是根據“單位量×數量=總量”的關系列式。有了相同的數量關系式后，把單位量換成分數，依舊要用乘法解決，學生很快就可以列出分數乘法的算式來解決問題。

類比思想在數學問題解決中常見的方法，以上“單位量×數量=總量”的關系式，在數學問題里也有類似的關系，如工程問題與行程問題。在教學這些問題時，可以通過類比他們之間的聯系，整合新舊知識之間的聯系，不斷應用和積累問題解決的經驗，提升問題解決能力。

四、用模型思想，固化結論

模型思想，對現實問題從量的方面進行數學抽象，所得到的用數學符號表達的數學對象成為數學模型，建立和研究客觀事物的數學模型，從量的方面來揭示數學對象本質特征和變化規律。[2]從廣義角度講，數學的概念，定理，規律，法則，公式，性質，數量關系式，圖表，程序等都是數學模型。而數學模型思想在問題解決中應用，根據一棵的研究學習，建立數量關系等，能夠幫助解決一類問題，實現經驗間的聯結，形成知識系統化發展。

[案例]新人教版五上的p106《數學廣角-植樹問題》。

教學時，首先將復雜的100米小路轉化成在一段長20米的路的一旁，每間隔5米種一棵樹，可能種幾棵樹？整個探究過程是開放的，學生根據自己的經驗和能力解決了問題。教師設計了一個開放的問題，一個大膽發言的環境，一個充分對話的過程，讓學生在解決問題過程中發現植樹問題有多種形式，啟發學生借助線段圖或直觀圖來說明，提高了學生的分析力和判斷力，同時初步總結出栽樹的棵樹與間隔數之間的關系。在第一次20米路的問題解決的模型下，學生通過在30米、40米上加以驗證。經歷一個借助數形結合，同時讓學生充分嘗試體驗的基礎上通過不完全歸納總結規律，完成構建“棵樹與間隔數之間關系”的模型。

模型的構建，有利于學生切實理解和掌握某一類問題的解決途徑和方法。這在問題解決過程，要引導學生善于觀察與發現事物的特征，善于歸納與總結事物之間的聯系，實現通過一個問題的研究來形成模型，再將這類問題的模型和解題經驗延伸到相關的問題。同時要注重生活問題與數學問題的溝通與轉化，活用模型思想解決問題。

五、結束語

小學數學階段，數學思想方法還有很多，筆者主要以以上四種常見的思想方法為例，淺談如何結合他們提升問題解決的能力。在聯合數學思想方法時，要注重分析教材，分析學情，特別是學生已有的知識、技能和經驗基礎，再選擇適合的數學思想方法，經歷一個發展經驗——應用經驗——建立新經驗的過程，旨在幫助學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，將數學問題解決系統化、結構化，逐步提高學習能力，促進全面發展。

參考文獻：

[1]吳茗.淺談小學數學教學中類比的運用[J].讀與寫：教育教學刊， 2012（9）：217.

[2]張茹華.小學數學思想方法及其教學研究[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2009（2）：8-11.