推理在數學教學中的應用舉例探究

摘 要：嚴密的邏輯思維和推理能力，對整個高中數學學習有很大的促進作用，會激發學生學習數學的興趣，能使成績不斷提升。邏輯推理能力又是學好數學的基本素質之一，如何在數學教學中將推理有效應用，本文將結合相關題目舉例探究。

關鍵詞：邏輯推理能力；數學教學；素質

推理是指人們大腦思維活動的一系列過程，是根據現有的一個或幾個已知的正確判斷（前提），推導出一個未知的結論的思維過程。高中數學教學中常用合情推理與演繹推理來解決一些數學問題。

推理能力是一種以全面，細致，敏銳的思考分析，快速地反應，迅速地掌握問題的核心，在最短的時間里，做出合理、正確的選擇，解決問題的能力。對普通高中學生來說，具備嚴密邏輯推理能力是學好數學基本素質之一。嚴密的邏輯思維推理能力，對整個高中數學學習有很大的促進作用，會激發學生學習數學的興趣，能使成績不斷提升。下面我以實際應用題為例，談談推理命題在數學實際教學中的應用。

例1 五個小偷偷了200萬元人民幣，每捆一萬元，他們都非常聰明，就想出了一個分配方法，并決定這么分贓：第一步，隨機抽簽決定自己的號碼（1，2，3，4，5）；第二步，由1號小偷首先提出分配方法，然后大家舉手進行表決，當且僅當超過兩個以上的人同意時，按照該方發進行分贓，否則這個人將被扔下懸崖；第三步，1號小偷死后，再由2號小偷提出分配方法，然后4人再進行舉手表決，當且僅當超過一半的人同意時，按照該方法進行分贓，否則他也被殘忍地扔下懸崖摔死；以此類推，請問最后分配結果怎樣？

分析：從最后的結果來分析，如果1，2，3號小偷都已經摔死，只剩4，5號小偷的話，5號小偷一定投反對票讓4號小偷摔死，以獨吞全部贓款，所以對4號小偷來說不論3號提出什么樣的方法都只能投贊成票以保全性命。3號小偷明確了這一點，就會提出（200，0，0）的分配方法，讓4，5號小偷一無所獲而將全部人民幣歸為己有，因為他清楚4號雖然一無所獲但還是會舉手投贊成票（已保命）再加上自己的一票，他的方法可以順利通過。到2號，推知3號的方法就會推出（196，0，2，2）的方法，即放棄3號而分別給4，5號各兩捆人民幣；由于該方法對于4，5號小偷來說比由3號提出的（200，0，0）方法分配更有利，他們將支持2號小偷，且由2號來代替3號小偷來瓜分，這樣2號將拿走196捆現金。不過，2號小偷的方法會被1號所發現，1號將提出（194，0，2，4，0）或（194，0，2，0，4）的應對策略，即放棄2號小偷，而給3號兩捆現金，同時給4號（或5號）四捆現金；由于1號的方法對于3號和4號（或5號）小偷來說，相比2號小偷的方法瓜分時更有利，他們將舉手投1號的贊成票，加上1號自己的票，1號的方法即可獲得超過半數的贊成票而得以通過，194捆人民幣輕松落入1號囊中。看來，都絕頂聰明的小偷們只能看自己的手氣如何了，特殊的規則使1號簽獲得者拿到了97%的人民幣，但一定記住不能太貪婪，而提出超過97%的人民幣的不合理要求而命喪懸崖。

邏輯推理能力是高考考查學生必須具備的數學能力之一，對事物之間的普遍關系或事件的發展走向進行合理判斷，證明與分析，并確定有效解決問題的途徑和重要方法，本題目是訓練倒推或逆推法的使用。解題的關鍵在于合理利用規則，使你提出的方案對超過多數人更有利，還要首先保全自己。

例2 某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：

（1）男學生人數多于女學生人數；

（2）女學生人數多于教師人數；

（3）教師人數的兩倍多于男學生人數。

①若教師人數為4，則女學生人數的最大值為 ；

②該小組人數的最小值為 。

設男學生人數為x，女學生人數為y，教師人數為z，則有2z>x>y>z，x，y，z∈N*。

①教師人數為4，即z=4，8>x>y>4，所以y的最大值為6，故女學生人數的最大值為6。

②由題意知2z>x>y>z，x，y，z∈N*。

當z=1時，2>x>y>1，x，y不存在；

當z=2時，4>x>y>2，x，y不存在；

當z=3時，6>x>y>3，x=5，y=4，此時該小組人數最少，最少為5+4+3=12。

歸納和類比是常用的合情推理的方法。從推理形式上看，歸納是由部分到整體，個別到一般的推理過程，類比是從特殊情況到特殊情況的推理；而演繹推理則是由一般原理到特殊原理的推理。從推理所得結果來看，合情推理形式的結論不一定完完全全正確，需要進一步推理論證；而演繹推理在命題大前提，小前提和推理論證形式都正確的情況下，得到的結果一定正確可行，邏輯推理在這兩個環節中扮演著重要角色。演繹推理常用來證明和推理數學問題，要注意推理過程的嚴密性、書寫格式的規范性。合情推理中運用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展依據。在進行合情推理時，要依據一定的“規則”——已知條件、公式、法則、推理等；只有不斷地觀察、比較、分析、推理，才能得到正確的答案。在數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能很好地幫助我們探究，大膽猜測和發現結論。在有力證明一個數學結論正確之前，合情推理方能為證明提供正確的思路與方向。數學結論的證明主要通過演繹推理來進行。另外“三段論”式的演繹推理一定要保證大前提正確，且小前提是大前提的子集關系，這樣經過正確推理，才能得出正確結論。

因此，培養學生嚴密的邏輯思維、推理能力，對學生高中數學學習有很大的促進作用，為數學高考奠定堅實的基礎。

作者簡介：辛洲，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅省臨夏縣田家炳中學。